Чарльз Лёвнер
Чарльз Лёвнер
- Место рождения
- Лани, Богемия
- Место смерти
- Стэнфорд, Калифорния, США
- Гражданство
- США
- Род деятельности
- математик
Чарльз Лёвнер (29 мая 1893, Лани, Австро-Венгрия — 8 января 1968, Стэнфорд, США) — американский математик. Известен трудами в области систолической геометрии и теории непрерывных групп, а также созданием уравнения Лёвнера.
Биография[править]
Карл Лёвнер родился в еврейской семье в Лани (около 30 км от Праги). Его отец Зигмунд Лёвнер был владельцем магазина.
Лёвнер получил степень доктора философии в Пражском университете в 1917 году под руководством Георга Пика. Одним из его главных математических достижений стало доказательство гипотезы Бибербаха в первом весьма нетривиальном случае третьего коэффициента. Предложенный им метод, дифференциальное уравнение Лёвнера, имел далеко идущие последствия в геометрической теории функций. Этот метод использовался в окончательном доказательстве гипотезы Бибербаха Луи де Бранжем в 1985 году.
Лёвнер преподавал математику в Берлинском университете и Пражском университете до отъезда в США. В 1939 году Рихард фон Мизес писал из Стамбула в рекомендательном письме для Лёвнера: «Во время своей работы в Берлинском университете Лёвнер среди всех преподавателей математики оказывал самое сильное влияние на студентов, стимулировал их к самостоятельным исследованиям и бескорыстно помогал им. Значительная часть работы, представленной в опубликованных диссертациях его учеников, не только является результатом его влияния, но и в истинном смысле может считаться его собственной работой».
В США он преподавал в Луисвиллском университете, Брауновском университете, Сиракузском университете и, в конечном итоге, в Стэнфордском университете. Среди его учеников — Липман Берс, Роджер Хорн, Адриано Гарсиа и Пао Мин Пу.
Неравенство Лёвнера для тора[править]
В 1949 году Лёвнер доказал своё неравенство для тора. Оно утверждает, что для любой метрики на двумерном торе её систола sys удовлетворяет оптимальному неравенству[1]:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{sys}^2 \leq \frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{area} (\mathbb T^2).}
Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика является плоской и гомотетичной так называемому равностороннему тору — тору, чья группа преобразований накрытия представляет собой гексагональную решётку, натянутую на кубические корни из единицы в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb C} .
Теорема Лёвнера о матрицах[править]
Матрица Лёвнера (в линейной алгебре) — это квадратная матрица или, более конкретно, линейный оператор (вещественных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^1} -функций), связанный с двумя входными параметрами. Эти параметры включают: (1) вещественную непрерывно дифференцируемую функцию на подынтервале вещественных чисел и (2) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} -мерный вектор с элементами, выбранными из этого подынтервала. Двум входным параметрам ставится в соответствие выходной параметр, представляющий собой матрицу размера Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \times n} .
Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} — вещественнозначная функция, непрерывно дифференцируемая на открытом интервале Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} .
Для любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s, t \in (a, b)} разделённая разность функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} в точках Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s, t} определяется как:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f^{[1]}(s,t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{f(s)-f(t)}{s-t}, & \text{если } s \neq t \\ f'(s), & \text{если } s = t \end{cases}} .
Для заданных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1, \ldots, t_n \in (a,b)} матрица Лёвнера Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_f (t_1, \ldots, t_n)} , связанная с функцией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} для набора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (t_1,\ldots,t_n)} , определяется как матрица размера Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \times n} , чей Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i,j)} -й элемент равен Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f^{[1]}(t_i,t_j)} .
В своей фундаментальной статье 1934 года Лёвнер доказал, что для каждого целого положительного числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} является Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} -монотонной на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} тогда и только тогда, когда матрица Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_f (t_1, \ldots, t_n)} является положительно полуопределённой для любого выбора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1,\ldots,t_n \in (a,b)} . Используя эту эквивалентность, он доказал, что функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} является Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} -монотонной на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} для всех Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} тогда и только тогда, когда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} является вещественно-аналитической функцией с аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость, имеющим положительную мнимую часть в верхней полуплоскости. См. Операторно монотонная функция.
Непрерывные группы[править]
Во время визита в Беркли в 1955 году Лёвнер прочитал курс по непрерывным группам. Его лекции были размножены в виде конспектов. Лёвнер планировал написать подробную книгу о непрерывных группах на основе этих записей, но на момент его смерти проект находился на стадии формирования. Харли Флэндерс и Мюррей Проттер решили пересмотреть и исправить оригинальные конспекты лекций, чтобы издать их в постоянном формате[2]. Книга «Чарльз Лёвнер: Теория непрерывных групп» (англ. Charles Loewner: Theory of Continuous Groups) была опубликована издательством MIT Press в 1971 году и переиздана в 2008 году.
В терминологии Лёвнера, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in S} и на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} задано действие группы, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} называется величиной (стр. 10). Проводится различие между абстрактной группой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} и реализацией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} в терминах линейных преобразований, которые дают представление группы. Эти линейные преобразования представляют собой якобианы, обозначаемые как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle J(\overset{u}{v})} (стр. 41). Термин инвариантная плотность используется для меры Хаара, которую Лёвнер приписывает Адольфу Гурвицу (стр. 46). Лёвнер доказывает, что компактные группы имеют равные левые и правые инвариантные плотности (стр. 48).
Источники[править]
- ↑ Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds // Pacific J. Math.. — 1952. — том 2. — № 1. — С. 55–71. — DOI:10.2140/pjm.1952.2.55
- ↑ Preface, page ix
Литература[править]
- Berger, Marcel: À l’ombre de Loewner. (French) Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 5 (1972), 241—260.
Ссылки[править]
- Мемориальная резолюция Стэнфордского университета
- Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Чарльз Лёвнерангл. — биография в архиве MacTutor.
 | Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Лёвнер, Чарльз», расположенная по адресу:
Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?». |
|---|