Алгоритм перераспределения перевозок для трёхиндексной транспортной задачи

Алгоритм перераспределения перевозок для ТТЗ — это алгоритм построения трёхмерного цикла перераспределения перевозок и нахождения нового опорного решения для трёхиндексной транспортной задачи (ТТЗ).

Для обозначения трёхмерных циклов перераспределения перевозок будем использовать название гипотетический многогранник перераспределения.

Определения

Гипотетический многогранник перераспределения (ГМП) - это множество узлов (элементов) целочисленной решётки N_mxN_nxN_k, содержащее в каждом ряду решётки не менее двух узлов. ГМП называется допустимым, если все его узлы можно пометить так, что в каждом ряду решётки число узлов со знаком "+" равно числу узлов со знаком "-". Очевидно, что в допустимом ГМП чётное число узлов в рядах. Все остальные ГМП будем считать недопустимыми.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} — число поставщиков;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} — число потребителей;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} — число продуктов;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_x} — перераспределяемая часть перевозки;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i_o,j_o,t_o)} — вводимая в базис перевозка;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i_x,j_x,t_x)} — выводимая из базиса перевозка;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{ijt}\ge 0} — объём перевозок продукта Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} от поставщика Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} к потребителю Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j,\forall(i,j,t)\in{N_m\times N_n\times N_k}}  ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_o} — базис решения — множество базисных элементов решения;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} — вспомогательное множество для построения цикла перераспределения перевозок;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_{m\times n\times k}} — трёхмерная матрица перевозок — текущее и новое решения.

Алгоритм

Входные данные: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m,n,k,B_o,(i_o,j_o,t_o),X_{m\times n\times k}} .

1. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G=B_o\cup(i_o,j_o,t_o)} .

2. Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists(i,j,t)\in G} элемент, лежащий один в ряду ( Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i,j)} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i,t)} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (j,t)} ), то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G=G\setminus(i,j,t)} и переходим к пункту 2.

3. Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists} ряд ( Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i,j)} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i,t)} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (j,t)} ), с нечётным числом элементов, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i,j,t)\in G} , то ГМП — недопустимый и конец работы (выход из алгоритма).

4. Элемент Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i_o,j_o,t_o)} помечается знаком Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +} .

5. Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists(i,j,t)\in G} — непомеченный элемент, лежащий хотя бы в одном ряду с помеченным, то он помечается противоположным знаком и переходим к пункту 5.

6. Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists} ряд ( Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i,j)} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i,t)} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (j,t)} ), в котором разное число элементов с противоположными знаками, то ГМП — недопустимый и конец работы, иначе ГМП — допустимый.

7. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_x=\min\limits_{(i,j,t)^-\in G}\{x_{ijt}\},(i_x,j_x,t_x)=\arg\{\Delta_x\}} .

8. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{ijt}=x_{ijt}+\Delta_x,\forall(i,j,t)^+\in G,x_{ijt}=x_{ijt}-\Delta_x,\forall(i,j,t)^-\in G} .

Выходные данные: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_x,(i_x,j_x,t_x),X_{m\times n\times k}} .

Другие алгоритмы

1. Алгоритм метода потенциалов для ТЗ:
   1. алгоритм северо-западного угла для ТЗ;
   2. алгоритм минимального элемента для ТЗ;
   3. алгоритм расчёта потенциалов для ТЗ;
   4. алгоритм перераспределения перевозок для ТЗ;
2. Алгоритм метода потенциалов для ТЗПП:
   1. алгоритм северо-западного угла для ТЗПП;
   2. алгоритм расчёта потенциалов для ТЗПП;
   3. алгоритм перераспределения перевозок для ТЗПП;
   4. алгоритм решения ТЗПП с запретами;
3. Алгоритм метода потенциалов для ТТЗ:
   1. алгоритм минимального элемента для ТТЗ;
   2. алгоритм расчёта потенциалов для ТТЗ;
   3. алгоритм перераспределения перевозок для ТТЗ;
4. Алгоритм метода потенциалов для ТТЗАС:
   1. алгоритм трёхгранного угла для ТТЗАС;
   2. алгоритм расчёта потенциалов для ТТЗАС;
   3. алгоритм перераспределения перевозок для ТТЗАС;
5. Алгоритм метода потенциалов для ТТЗПП:
   1. алгоритм расчёта потенциалов для ТТЗПП;
   2. алгоритм перераспределения перевозок для ТТЗПП.

Литература

• Кривопалов Ю. А. Метод потенциалов для решения трёхиндексной транспортной задачи — М.: ВИМИ, 1990 г. деп. № Д08221.
• Кривопалов Ю. А. Метод потенциалов для решения трёхиндексной транспортной задачи — Сборник ХI конференции «Наука. Творчество» 2015, Самара, Т. 1, стр.39.