Метод потенциалов для трёхиндексной транспортной задачи с промежуточными пунктами

Метод потенциалов для ТТЗПП — это метод решения трёхиндексной транспортной задачи с промежуточными пунктами (ТТЗПП).

Обозначения

$m$ – число промежуточных пунктов (складов), $m>1$ ;

$n$ – число конечных пунктов (поставщиков и потребителей), $n>3$ ;

$mp$ — число складов с положительными дополнительными потребностями, $0\leq mp\leq m$ ;

$np$ – число поставщиков (конечных пунктов c положительными значениями), $1<np<n$ ;

$k$ – число продуктов;

$L$ — целевая функция — стоимость затрат на перевозки;

$\Delta _{o}$ — оценка оптимальности решения;

$\Delta _{x}$ — перераспределяемая часть перевозки;

$(i_{o},j_{o},t_{o})$ — вводимая в базис перевозка;

$(i_{x},j_{x},t_{x})$ — выводимая из базиса перевозка;

$d_{ijt}$ — транспортный тариф на перевозку единицы $t$ -продукта между $i$ -м промежуточным пунктом и $j$ -м конечным пунктом;

$x_{ijt}$ — объём перевозок $t$ -продукта между $i$ -м промежуточным пунктом и $j$ -м конечным пунктом;

$z_{ijt}$ — булева переменная обозначающая принадлежность перевозки к базису: 1 — принадлежит базису, 0 — не принадлежит базису, $\forall (i,j,t)\in {N_{m}\times N_{n}\times N_{k}}$ ;

$B_{o}$ — множество базисных элементов — базис решения;

$E,E^{+},E^{-}$ — вспомогательные множества небазисных элементов;

$D_{m\times n\times k}$ — трёхмерная матрица тарифов $d_{ijt}$ ;

$X_{m\times n\times k}$ — трёхмерная матрица перевозок $x_{ijt}$ ;

$Z_{m\times n\times k}$ — трёхмерная матрица базисных элементов $z_{ijt}$ .

Алгоритм

Входные данные: $m,n,k,mp,np,D_{m\times n\times k},X_{m\times n\times k},Z_{m\times n\times k}$ .

1. Берём допустимое опорное решение $X_{m\times n\times k}$ и базис $Z_{m\times n\times k}$ .

2. Определяем значение целевой функции $L=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\sum _{t=1}^{k}d_{ijt}x_{ijt}$ и базис опорного решения $B_{o}=\{(i,j,t)|z_{ijt}=1\}$ .

3. Определяем оценку $\Delta _{o}$ и элемент $(i_{o},j_{o},t_{o})$ с помощью алгоритма расчёта потенциалов для ТТЗПП (также определяются оценки оптимальности $\Delta _{ijt}$ ).

4. Проверяем решение $X_{m\times n\times k}$ на оптимальность. Если $\Delta _{o}=0$ , то решение $X_{m\times n\times k}$ — оптимальное и конец работы, иначе определяем $E^{+}=\{(i,j,t)|\Delta _{ijt}\geq 0,j\leq np\},E^{-}=\{(i,j,t)|\Delta _{ijt}\leq 0,j>np\},E={E^{+}}\cup {E^{-}}\setminus B_{o}$ .

5. Определяем оценку $\Delta _{x}$ , элемент $(i_{x},j_{x},t_{x})$ и новое опорное решение $X_{m\times n\times k}$ с помощью алгоритма перераспределения перевозок для ТТЗПП. Если нового допустимого опорного решения нет, то переходим к пункту 7.

6. Определяем новое значение целевой функции $L=L-\Delta _{o}\cdot \Delta _{x}$ и новый базис $B_{o}=B_{o}\setminus (i_{x},j_{x},t_{x})\cup (i_{o},j_{o},t_{o})$ . Переходим к пункту 3.

7. Определяем множество $E=E\setminus (i_{o},j_{o},t_{o})$ и новую оценку $\Delta _{o}$ и элемент $(i_{o},j_{o},t_{o})$ из множества $E$ . Если $\exists (i_{o},j_{o},t_{o})\in E$ , то переходим к пункту 5, иначе конец работы.

Выходные данные: $L,X_{m\times n\times k}$ .

Другие алгоритмы

1. Алгоритм метода потенциалов для ТЗ:
   1. алгоритм северо-западного угла для ТЗ;
   2. алгоритм минимального элемента для ТЗ;
   3. алгоритм расчёта потенциалов для ТЗ;
   4. алгоритм перераспределения перевозок для ТЗ;
2. Алгоритм метода потенциалов для ТЗПП:
   1. алгоритм северо-западного угла для ТЗПП;
   2. алгоритм расчёта потенциалов для ТЗПП;
   3. алгоритм перераспределения перевозок для ТЗПП;
   4. алгоритм решения ТЗПП с запретами;
3. Алгоритм метода потенциалов для ТТЗ:
   1. алгоритм минимального элемента для ТТЗ;
   2. алгоритм расчёта потенциалов для ТТЗ;
   3. алгоритм перераспределения перевозок для ТТЗ;
4. Алгоритм метода потенциалов для ТТЗАС:
   1. алгоритм трёхгранного угла для ТТЗАС;
   2. алгоритм расчёта потенциалов для ТТЗАС;
   3. алгоритм перераспределения перевозок для ТТЗАС;
5. Алгоритм метода потенциалов для ТТЗПП:
   1. алгоритм расчёта потенциалов для ТТЗПП;
   2. алгоритм перераспределения перевозок для ТТЗПП.

Другие методы

1. Метод потенциалов для ТЗ;
2. Метод минимального элемента для ТЗ;
3. Метод северо-западного угла для ТЗ;
4. Метод потенциалов для ТЗПП;
5. Метод северо-западного угла для ТЗПП;
6. Метод потенциалов для ТТЗ;
7. Метод минимального элемента для ТТЗ;
8. Метод потенциалов для ТТЗАС;
9. Метод трёхгранного угла для ТТЗАС;
10. Метод потенциалов для ТТЗПП.

Литература

• Кривопалов Ю. А. Метод потенциалов для решения трёхиндексной транспортной задачи — М.: ВИМИ, 1990 г. деп. № Д08221.
• Кривопалов В. Ю., Обобщённый метод потенциалов для решения транспортной задачи с промежуточными пунктами. Сборник Х конференции «Наука. Творчество» 2014, Самара-Москва, Т.1, стр.23-29.
• Кривопалов Ю. А. Метод потенциалов для решения трёхиндексной транспортной задачи — Сборник ХI конференции «Наука. Творчество» 2015, Самара, Т.1, стр.39.

Ссылки

• Krivopalov V. Y., Krivopalov Y. A. The potential method for solving the transportation problem with transit points. New Magenta Papers. Magenta Technology, 2013. — Vol.2 — P.31-38. Перевод статьи.