Вектор (алгебра)

В линейной алгебре вектором называется элемент линейного пространства. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.
Данным понятием вектора чаще всего пользуются при решении систем линейных алгебраических уравнений, а также при работе с линейными операторами (пример линейного оператора — оператор поворота). Часто это определение расширяют, определяя норму или скалярное произведение (возможно, и то, и другое вместе), после чего оперируют уже с нормированными и евклидовыми пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора. Многие математические объекты (например, матрицы, тензоры и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

В алгебре вектор — это (последовательность, кортеж) однородных элементов. То есть вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается ${\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, числа $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ называются компонентами арифметического вектора. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется пространством арифметических векторов $R^{n}$ . В любом $R^{n}$, точка, соответствующая набору $(0,0,...,0)$ имеет особое значение и называется началом координат. Если в упорядочной совокупности $n$-чисел - $R^{n}$, $n$ равно единице, двум или трем, то мы ее можем представить геометрически как, соответственно, прямую, плоскость и пространство. Если $n=2$, то $R^{2}$ можно рассматривать как плоскость, как совокупность упорядоченных пар вещественных чисел с координатами $x$ и $y$. Если $n=3$ то $R^{3}$ можно рассматривать как пространство, как совокупность упорядоченных троек вещественных чисел с координатами $x$, $y$, $z$. Вектор это элемент $R^{n}$. Таким образом, упорядочную совокупность может равном образом обозначать как точка так и вектор. Так как вектор геометрически представляется как направленный отрезок, вектор можно рассматривать как разность между двумя точками - координатами начала и конца отрезка. Однако, поскольку обычно рассматриваются вектора, начинающиеся в начале координат, разница между точкой и вектором носит условный характер, их координаты одинаковые.

Преимущество алгебраического представления векторов перед геометрическим состоит в сложности применения геометрической трактовки при рассмотрении векторов в $R^{4},R^{5},...$, то есть векторов имеющих больше трех координат. Для записи вектора в $R^{n}$ используется вертикальная запись $\nu =\left({\begin{array}{c}3\\5\end{array}}\right)$ Это запись называется вектор-столбец. Также используется запись $\nu =\left({\begin{array}{cc}3&5\end{array}}\right)$ - вектор строка.

Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

Литература

• Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
• Dan Margalit, Joseph Rabinoff, Ben Williams Interactive Linear Algebra UBC edition

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Вектор (алгебра)», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Вектор_(алгебра)» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».