Вписанный угол

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Insribed and central angle.png
Вписанный угол АРВ опирается на дугу АВ

Впи́санный у́гол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, или угол, который образуется двумя хордами, выходящими из одной точки на окружности. Вписанный угол АРВ опирается на дугу АВ, которая заключена между его сторонами. Дугу окружности измеряют в градусах. Если дуга АВ меньше, чем полуокружность или составляет полуокружность, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если дуга больше полуокружности, то её градусная мера равна 3600[1][2][3]:

Теорема о вписанном угле[править]

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, или половине градусной меры центрального угла, соответствующего данной дуге. Угол АРВ = ½ дуги ‿ АВ или угол АРВ = ½ угла АОВ[4].

Возможны три случая[1]:

  1. Диаметр окружности совпадает с одной из сторон угла.
  2. Диаметр окружности делит угол на два угла.
  3. Диаметр окружности не делит угол на два угла.
  • Inscribed angle theorem1.svg

    Диаметр является стороной угла

  • Inscribed angle theorem2.svg

    Диаметр делит угол на два угла

  • Inscribed angle theorem3.svg

    Диаметр лежит вне угла

Следствия[править]

В геометрии окружности важную роль играют свойства вписанных углов. Рассмотрим основные следствия, вытекающие из теоремы о вписанном угле[4][5][6]:

1) Все вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол АМВ = углу АNВ = ½ АОВ или угол АМВ = углу АNВ = дуги ‿ АВ.

2) Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны.

3) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

  • Angle centre 1.svg

    Следствие 1

  • ArcCapable.gif

    Следствие 2

  • Fasskreisbogenpaar.svg

    Следствие 2

  • Thales inscribed angle.gif

    Следствие 3

Теоремы, в доказательстве которых встречается вписанный угол[править]

Вписанный угол служит ключевым элементом при доказательстве многих фундаментальных теорем геометрии окружности. Ниже перечислены основные теоремы, в доказательстве которых используется свойство вписанного угла[6][7][8][9][10][11]:

  • Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды CE • ED = BE • EA.
  • Если через точку внутри окружности, отличную от центра окружности, проведены хорда и диаметр, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра.
  • Если через точку внутри окружности, отличную от центра, проведено несколько хорд, произведение отрезков любой из данных хорд является числом постоянным.
  • В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
  • В любом вписанном четырёхугольнике произведения отрезков, которые образуются при пересечении диагоналей, равны.
  • Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой.
  • Угол между секущими окружности равен полуразности двух дуг этой окружности, заключённых внутри угла.
  • Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме двух дуг этой окружности, заключённых внутри угла и внутри ему вертикального угла.
  • Если из точки вне окружности проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на её внешнюю часть.
  • Если из точки вне окружности проведено несколько секущих, произведение любой из этих секущих на её внешнюю часть — число постоянное.
  • Chord 2.svg

    СЕ • ЕD = ВЕ • ЕА

  • Cyclic quadrilateral bragmagupta proof.svg

    Вписанный четырехугольник

  • Sehenenviereck mollweid.svg

    АЕ ᛫ ЕС = DЕ ᛫ ВЕ

  • Dopdow.png

    Угол между касательной и хордой

  • Bhedika-formula.png

    Угол между хордами. Угол между секущими

  • Secant line-proof.svg

    РТ² = ВР • РА

Практическое применение теории вписанного угла[править]

Свойства вписанных углов лежат в основе одного из наиболее точных навигационных способов определения места судна — метода двух горизонтальных углов . Если с судна видны три береговых ориентира (А, В, С) с известными координатами, то, измерив секстантом горизонтальные углы между ними (угол АВС и угол ВСА), можно получить две линии положения в виде окружностей. Пересечение этих окружностей даёт точку местонахождения судна[12].

Метод относительной кинематики (Real‑Time Kinematic, RTK) применяется для высокоточного определения углов ориентации объектов с использованием сигналов глобальной навигационной спутниковой системы ГЛОНАСС. Данный метод спутникового позиционирования обеспечивает определение координат с сантиметровой точностью в режиме реального времени. Принцип действия RTK основан на использовании сигналов ГЛОНАСС и корректирующих данных, поступающих от базовой станции или сети базовых станций. Коррекция позволяет компенсировать основные источники погрешностей спутниковых измерений: влияние атмосферных условий, неточность бортовых часов спутников, а также ошибки, вызванные многолучевым распространением сигнала[13].

Сетка Вульфа (стереографическая сетка) представляет собой проекцию меридианов и параллелей с поверхности сферы на плоскость одного из меридианов, который в данном контексте называется основным. Центр проекции расположен на экваторе сферы. Сетка Вульфа позволяет графически решать широкий круг задач геометрической кристаллографии, сферической астрономии, навигации и астрометрии без выполнения сложных математических расчётов. С её помощью определяют координаты небесных светил, прогнозируют условия их наблюдения, а также находят угловые характеристики кристаллов[14].

Примечания[править]

  1. ↑ 1,0 1,1 Цыпкин А. Г. Справочник по математике / под ред. С. А. Степанова. — Москва: Наука, 1984. — С. 196.
  2. ↑ Киселев А. П. Элементарная геометрия. — Москва: Просвещение, 1980. — С. 73.
  3. ↑ Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Поздняк Э. Г., Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. — Москва: Физматлит, 2005. — С. 268.
  4. ↑ 4,0 4,1 Гусев А. В., Мордкович А. Г Математика: справочные материалы. — Москва: Просвещение, 1988. — С. 268.
  5. ↑ Зайцев В. В., Рыжов В. В., Сканави М. И. Элементарная математика / В. В. Зайцев. — Москва: Наука, 1974. — С. 465.
  6. ↑ 6,0 6,1 Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика / под ред. В.В. Рыжкова. — Москва: Наука, 1974. — С. 463.
  7. ↑ Гордин Р. К. Это должен знать каждый матшкольник. — Москва: МЦНМО, 2021. — С. 11.
  8. ↑ Киселев А. П. Элементарная геометрия. — Москва: Просвещение, 1980. — С. 107.
  9. ↑ Зайцев В. В., Рыжов В. В., Сканави М. И. Элементарная математика / под ред. В. В. Зайцева. — Москва: Наука, 1974. — С. 464.
  10. ↑ Цыпкин А. Г. Справочник по математике / под ред. С. А. Степанова. — Москва: Наука, 1984. — С. 194.
  11. ↑ Киселев А. П. Элементарная математика. — Москва: Просвещение, 1980. — С. 108.
  12. ↑ Рульков Д. И. Навигация и локация / Под ред. О. Д. Моралевич. — Москва: Транспорт, 1973.
  13. ↑ «Система определения углов ориентации объектов в пространстве на основе метода RTK».
  14. ↑ Анищик В. М., Поляк Н. И., Ходасевич В. В. Кристаллография и дефекты в кристаллах. Лабораторный практикум. — Минск: Белорусский государственный университет, 2021. — С. 4—10.

Ссылки[править]


Знание.Вики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Вписанный угол», расположенная по следующим адресам:

—«https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Вписанный_угол»
—«https://znanierussia.ru/articles/Вписанный_угол»

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Вписанный_угол&oldid=2592533