Интерполяционная формула Бесселя на середину

Интерполяция Бесселя на середину — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной срединной точке по формуле.

Обозначения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} − заданная срединная точка;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_n(x)} − значение формулы 2n-ого порядка в точке x;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_j,y_j)} − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} − шаг по оси абсцисс;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q=\frac{x-x_0}{h}} − параметр заданной точки (q=0,5);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_j= x_0 + jh} − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_j} − ордината j-той точки (-n≤j≤n);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}} − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}} − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_n(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\sum\limits_{i=1}^n{\frac{{\left(-1\right)}^i\left[\left(2i-1\right)!!\right]^2}{2^{2i}\left(2i\right)!}}\frac{\Delta^{2i} y_{-i}+\Delta^{2i} y_{-i+1}}{2}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_n(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\sum\limits_{i=1}^n{\frac{{\left(-1\right)}^i\left[\left(2i-1\right)!!\right]^2}{\left(4i\right)!!}}\frac{\Delta^{2i} y_{-i}+\Delta^{2i} y_{-i+1}}{2}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_n(x)=\frac{1}{2}\left(y_0+y_1\right)+\sum\limits_{i=1}^n{\frac{{\left(-1\right)}^i\left[\left(2i-1\right)!!\right]^2}{2\left(4i\right)!!}}{\left(\Delta^{2i-1} y_{-i+2}-\Delta^{2i-1} y_{-i}\right)}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_n(x)=y_0+\frac{1}{2}\Delta y_0+\sum\limits_{i=1}^n{\frac{{\left(-1\right)}^i\left[\left(2i-1\right)!!\right]^2}{2\left(4i\right)!!}}{\left(\Delta^{2i-1} y_{-i+2}-\Delta^{2i-1} y_{-i}\right)}}

• Формула интерполирования на середину является частным случаем интерполяционной формулы Бесселя при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q=\frac{1}{2}} .

Примеры формулы

Квадратическая интерполяция (n=1)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_1(x)=\frac{y_0+y_1}{2}-\frac{1}{8}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_1(x)=\frac{1}{2}\left(y_0+y_1\right)-\frac{1}{16}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_1(x)=y_0+\frac{1}{2}\Delta y_0-\frac{1}{16}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)}

Интерполяция многочленом 4-й степени (n=2)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}-\frac{1}{8}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}+\frac{3}{128}\frac{\Delta^4 y_{-2}+\Delta^4 y_{-1}}{2}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_2(x)=\frac{1}{2}\left(y_0+y_1\right)-\frac{1}{16}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\frac{3}{256}\left(\Delta^3 y_0-\Delta^3 y_{-2}\right)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_2(x)=y_0+\frac{1}{2}\Delta y_0-\frac{1}{16}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\frac{3}{256}\left(\Delta^3 y_0-\Delta^3 y_{-2}\right)}

Интерполяция многочленом 6-й степени (n=3)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}-\frac{1}{8}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}+\frac{3}{128}\frac{\Delta^4 y_{-2}+\Delta^4 y_{-1}}{2}-\frac{5}{1024}\frac{\Delta^6 y_{-3}+\Delta^6 y_{-2}}{2}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_3(x)=\frac{1}{2}\left(y_0+y_1\right)-\frac{1}{16}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\frac{3}{256}\left(\Delta^3 y_0-\Delta^3 y_{-2}\right)-\frac{5}{2048}\left(\Delta^5 y_{-1}-\Delta^5 y_{-3}\right)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_3(x)=y_0+\frac{1}{2}\Delta y_0-\frac{1}{16}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\frac{3}{256}\left(\Delta^3 y_0-\Delta^3 y_{-2}\right)-\frac{5}{2048}\left(\Delta^5 y_{-1}-\Delta^5 y_{-3}\right)}

Другие формулы:

1. Линейная интерполяция;
2. Интерполяция каноническим многочленом;
3. Интерполяционная формула Бесселя;
4. Интерполяционная формула Бесселя на середину;
5. Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
6. Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
7. Интерполяционная формула Лагранжа;
8. Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
9. Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
10. Интерполяционная формула Стирлинга.

Литература

• Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.313.