VIDEO
Полином Лагранжа (интерполяционный полином Лагранжа) // Andrij [8:10]
Интерполяция с помощью формулы Лагранжа — это определение значений многочлена n -ой степени (проходящего через заданные (n + 1) -у точку ((x1 ;y1 ), …, (xn ;yn )) в заданной точке x по формуле:
L
n
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
y
i
∏
j
=
0
j
≠
i
n
(
x
−
x
j
)
(
x
i
−
x
j
)
{\displaystyle L_{n}(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}\prod \limits _{\begin{smallmatrix}j=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}}
L
n
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
y
i
∏
j
=
0
j
≠
i
n
(
x
−
x
j
)
(
x
i
−
x
j
)
{\displaystyle L_{n}(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}\prod \limits _{\begin{smallmatrix}j=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}}
L
n
(
x
)
=
y
0
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
…
(
x
−
x
n
)
(
x
0
−
x
1
)
(
x
0
−
x
2
)
…
(
x
0
−
x
n
)
+
y
1
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
2
)
(
x
−
x
3
)
…
(
x
−
x
n
)
(
x
1
−
x
0
)
(
x
1
−
x
2
)
(
x
1
−
x
3
)
…
(
x
1
−
x
n
)
+
{\displaystyle L_{n}(x)=y_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})\ldots (x-x_{n})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})\ldots (x_{1}-x_{n})}}+}
+
…
+
y
i
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
…
(
x
−
x
i
−
1
)
(
x
−
x
i
+
1
)
…
(
x
−
x
n
)
)
(
x
i
−
x
0
)
(
x
i
−
x
1
)
…
(
x
i
−
x
i
−
1
)
(
x
i
−
x
i
+
1
)
…
(
x
i
−
x
n
)
+
…
+
{\displaystyle +\ldots +y_{i}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{n}))}{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x_{i}-x_{n})}}+\ldots +}
+
y
n
−
1
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
…
(
x
−
x
n
−
2
)
(
x
−
x
n
)
(
x
n
−
1
−
x
0
)
(
x
n
−
1
−
x
1
)
…
(
x
n
−
1
−
x
n
−
2
)
(
x
n
−
1
−
x
n
)
+
y
n
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
…
(
x
−
x
n
−
1
)
(
x
n
−
x
0
)
(
x
n
−
x
1
)
…
(
x
n
−
x
n
−
1
)
{\displaystyle +y_{n-1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})(x-x_{n})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n})}}+y_{n}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\ldots (x_{n}-x_{n-1})}}}
Заметим, что формула Лагранжа выражает тот же многочлен n -ой степени, что и канонический многочлен , только в другой форме.
Преимущество формулы Лагранжа состоит в том, что возможно вычисление значения многочлена n -ой степени в любой точке x без трудоёмкого вычисления коэффициентов канонического многочлена.
Линейная интерполяция [ править ]
При n = 1 формула Лагранжа имеет вид:
L
1
(
x
)
=
y
0
(
x
−
x
1
)
(
x
0
−
x
1
)
+
y
1
(
x
−
x
0
)
(
x
1
−
x
0
)
{\displaystyle L_{1}(x)=y_{0}{\frac {(x-x_{1})}{(x_{0}-x_{1})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})}}}
Квадратическая интерполяция [ править ]
При n = 2 формула Лагранжа имеет вид:
L
2
(
x
)
=
y
0
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
0
−
x
1
)
(
x
0
−
x
2
)
+
y
1
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
2
)
(
x
1
−
x
0
)
(
x
1
−
x
2
)
+
y
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
2
−
x
0
)
(
x
2
−
x
1
)
{\displaystyle L_{2}(x)=y_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}}+y_{2}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}}
Кубическая интерполяция [ править ]
При n = 3 формула Лагранжа имеет вид:
L
3
(
x
)
=
y
0
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
−
x
3
)
(
x
0
−
x
1
)
(
x
0
−
x
2
)
(
x
0
−
x
3
)
+
y
1
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
2
)
(
x
−
x
3
)
(
x
1
−
x
0
)
(
x
1
−
x
2
)
(
x
1
−
x
3
)
+
{\displaystyle L_{3}(x)=y_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}}+}
+
y
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
3
)
(
x
2
−
x
0
)
(
x
2
−
x
1
)
(
x
2
−
x
3
)
+
y
3
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
3
−
x
0
)
(
x
3
−
x
1
)
(
x
3
−
x
2
)
{\displaystyle +y_{2}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}}+y_{3}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}}}
Другие формулы [ править ]
Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.