Интерполяционная формула Гаусса назад

Интерполяция Гаусса назад (вторая формула) — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной точке по формуле.

Обозначения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} − заданная точка;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_{n}(x)} − значение формулы n-ого порядка в точке x;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_j,y_j)} − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} − шаг по оси абсцисс;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q=\frac{x-x_0}{h}} − параметр заданной точки (q<0);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_j= x_0 + jh} − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_j} − ордината j-той точки (-n≤j≤n);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}} − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}} − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-2}{\left(q+i-1-j\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^i{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}}

Примеры формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q=\frac{x-x_0}{h}}

Линейная интерполяция (n=1)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_1(x)=y_0+q\Delta y_{-1}}

Квадратическая интерполяция (n=2)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_2(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}}

Кубическая интерполяция (n=3)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_3(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}}

Интерполяция многочленом 4-й степени (n=4)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_4(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}+\frac{q\left(q^2-1\right)\left(q+2\right)}{24}\Delta^4 y_{-2}}

Интерполяция многочленом 5-й степени (n=5)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_5(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}+\frac{q\left(q^2-1\right)\left(q+2\right)}{24}\Delta^4 y_{-2}+\frac{q\left(q^2-1\right)\left(q^2-4\right)}{120}\Delta^5 y_{-3}}

Интерполяция многочленом 6-й степени (n=6)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_6(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}+\frac{q\left(q^2-1\right)\left(q+2\right)}{24}\Delta^4 y_{-2}} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\frac{q\left(q^2-1\right)\left(q^2-4\right)}{120}\Delta^5 y_{-3}+\frac{q\left(q^2-1\right)\left(q^2-4\right)\left(q+3\right)}{720}\Delta^6 y_{-3}}

Другие формулы:

1. Линейная интерполяция;
2. Интерполяция каноническим многочленом;
3. Интерполяционная формула Бесселя;
4. Интерполяционная формула Бесселя на середину;
5. Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
6. Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
7. Интерполяционная формула Лагранжа;
8. Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
9. Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
10. Интерполяционная формула Стирлинга.

Ссылки

• https://iissvit.narod.ru/rass/vip21.htm