Метод Штурма для неравенства суммы квадратов дробей с единичной суммой

Доказательство методом Штурма неравенства суммы квадратов дробей с единичной суммой использует метод Штурма с сохранением суммы.

Обозначения

n – число дробей, n>1;

x_i – i-ая положительная дробь, 0<x_i<1;

x₁+ x₁+…+ x_n – сумма дробей равна 1;

x_i² – это квадрат i-ой дроби.

Формула неравенства

Определения

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}$ и $|a_{1}-b_{1}|>|a_{2}-b_{2}|$ , то переход от пары $(a_{1},b_{1})$ к паре $(a_{2},b_{2})$ называется сдвиганием чисел $a_{1},b_{1}$ с сохранением суммы.

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}$ и $|a_{1}-b_{1}|<|a_{2}-b_{2}|$ , то переход от пары $(a_{1},b_{1})$ к паре $(a_{2},b_{2})$ называется раздвиганием чисел $a_{1},b_{1}$ с сохранением суммы.

Доказательство

Рассмотрим случаи.

1.и исходное неравенство превращается в равенство, т.е. верно.

2..

Так как в противном случае все числа не меньше ${\frac {1}{n}}$, а хотя бы одно больше ${\frac {1}{n}}$, что противоречит равенству x₁+x₂+…+x_n=1.

Далее следует, что .

Так как в противном случае все числа не больше ${\frac {1}{n}}$, а число x_i<1/n, что противоречит равенству x₁+x₂+…+x_n=1.

Итак имеем: .

Поскольку исходное неравенство симметрично и все переменные в нём равноправны, то без ограничения общности мы можем считать, что этими переменными являются x_k и x_k+1, причём x_k<${\frac {1}{n}}$<x_k+1, а все x₁, x₂, …, x_k-1 и только они равны ${\frac {1}{n}}$ (может оказаться, что таких переменных нет, тогда полагаем k=1). По теореме о существовании второго числа-слагаемого на интервале, сохраняющего сумму концов интервала имеем

Положим x^'_k=${\frac {1}{n}}$. Сдвинем теперь числа x_k, x_k+1 с сохранением их суммы так, чтобы они перешли в числа x^'_k, x^"_k+1, тогда по теореме о сдвигании чисел при сохранении суммы имеем увеличение произведения:

Сумма всех переменных из нового набора также равна 1, причём в новом наборе число ${\frac {1}{n}}$ будет встречаться по меньшей мере на один раз больше, чем в старом. Таким образом, последовательно сдвигая пары переменных описанным выше способом до тех пор, пока все они не станут равны ${\frac {1}{n}}$ , мы получим цепочку неравенств:

Неравенство доказано, ч.т.д.

Другие доказательства:

1. весовое неравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
2. весовое неравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
3. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
4. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
5. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
6. неравенство четырёх средних;
7. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы обратных единиц с числом;
8. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы обратных чисел;
9. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
10. неравенство Йенсена для неравенства Коши;
11. неравенство Коши для неравенства произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
12. неравенство Коши-Буняковского для неравенства треугольника в n-мерном пространстве;
13. неравенство Коши-Буняковского для неравенства чисел двух последовательностей;
14. неравенство Коши-Буняковского для неравенства чисел трёх последовательностей;
15. неравенство Коши-Буняковского для транснеравенства суммы квадратов чисел;
16. неравенство средневзвешенных для неравенства Коши;
17. неравенство Чебышёва для неравенства произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
18. неравенство чисел трёх последовательностей для неравенства чисел двух последовательностей;
19. обобщённое неравенство для весового неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
20. обобщённое неравенство для весового неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
21. обобщённое неравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
22. обобщённое неравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
23. транснеравенство для неравенства суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
24. транснеравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
25. транснеравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
26. транснеравенство для транснеравенства суммы квадратов чисел;
27. доказательство Бора неравенства Коши;
28. ММИ для неравенства Гюйгенса;
29. ММИ для неравенства Коробова;
30. ММИ для неравенства Коши;
31. ММИ для неравенства Коши-Буняковского;
32. ММИ для неравенства произведения единиц с дробями;
33. ММИ для неравенства средневзвешенных;
34. ММИ для неравенства суммы кубов возрастающих чисел;
35. ММИ для неравенства Фань Цзы;
36. ММИ для обобщённого неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
37. ММИ для обобщённого неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
38. ММИ для транснеравенства одномонотонных последовательностей;
39. ММИ для транснеравенства разномонотонных последовательностей;
40. ММИ Якобсталя для неравенства Коши;
41. МШ для неравенства произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
42. МШ для неравенства суммы обратных единиц с дробями;
43. МШ для неравенства суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
44. МШ для неравенства суммы обратных единиц с числом;
45. МШ для неравенства произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
46. МШ для неравенства произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
47. МШ для неравенства суммы квадратов дробей с единичной суммой;
48. МШ для неравенства Гюйгенса;
49. МШ для неравенства Коши.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.141-142, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara