Перестановки
Перестано́вки в математике — упорядоченное расположение объектов. Перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. О перестановках говорят, когда необходимо определить, сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов[1]. Принято различать перестановки без повторений и с повторениями элементов. Перестановки являются примером простейших комбинаторных конфигураций наряду с размещениями и сочетаниями.
Число перестановок[править]
Число всех возможных перестановок из n элементов обозначается символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_n} . Число перестановок равно: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_n=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n=n!} . Здесь n! — факториал числа n[2].
Если среди прочих в перестановках участвуют неразличимые между собой элементы, то число перестановок из n элементов с повторениями равно: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{P}_{n_1,n_2,n_3,...,n_k}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!\cdot...\cdot n_k!}} . Здесь n1, n2, n3, …, nk — количество элементов вида 1, 2, 3, …, k[3].
Свойства перестановок[править]
1. Число перестановок из n элементов равно числу размещений из n элементов по n: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_n=A_n^n=n!} .
2. Формула, связывающая число перестановок с размещениями и сочетаниями: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_n^m =\frac{A_n^m}{P_n}} [2].
История[править]
Название «перестановка» впервые употребил бельгийский математик Андре Таке в своем учебнике «Теория и практика арифметики» («Arithmeticae theoria et praxis», 1656). Это наименование осталось в математике, благодаря тому, что его принял швейцарский математик Яков Бернулли в трактате «Искусство предположений» («Ars conjectandi», 1713). Этот содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применению, стал своеобразным итогом комбинаторики и теории вероятностей XVII века[4].
Обозначение перестановок Pn происходит от английского слова «permutation» (перестановка). Оно введено в обиход британским математиком Робертом Поттсом в 1880 году. Однако, такое естественное сокращение, вероятно, встречалось и раньше[4].
Примечания[править]
- ↑ Перестановки // Энциклопедия для детей / Глав. ред. М. Д. Аксенова. — М.: Аванта+, 2003. — С. 249—251. — ISBN 5-94623-072-7.
- ↑ 2,0 2,1 Комбинаторика // Большая советская энциклопедия (В 30 томах) / Глав. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1973. — С. 492.
- ↑ Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. — С. 83.
- ↑ 4,0 4,1 Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь - справочник. — Изд. 3-е, испр. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — С. 74. — ISBN 978-5-382-00839-4.
 | Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Перестановки», расположенная по следующим адресам:
Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?». |
|---|