Сочетания

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Combination.png
Пример сочетаний из четырёх элементов

Сочета́ния в математике — соединения, составленные из n элементов по k элементов в каждой группе и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом[1]. Сочетания, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми. В зависимости от того, повторяются или нет элементы в множестве, из которого их выбирают, различают сочетания без повторения и с повторением[2]. Сочетания являются примером простейших комбинаторных конфигураций наряду с перестановками и размещениями[3].

Число сочетаний[править]

Число сочетаний из n элементов по k обозначается символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,_n^k} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \binom{k}{n}} и равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}} . Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}  — так называемый факториал числа n[1].

Числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,_n^k} получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена (бинома): Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a+b)^n = C\,_n^0 a^n+C\,_n^1 a^{n-1}b+C\,_n^2 a^{n-2}b^2+...+C\,_n^{n-1} ab^{n-1}+C\,_n^nb^n} . Они называются биномиальными коэффициентами[2].

При составлении сочетаний каждый элемент может повторяться несколько раз. Число сочетаний из n элементов по m с повторениями равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{C\,_n^m}=C\,_{n+m-1}^m=\frac{(n+m-1)!}{m!(n-1)!}} [4].

Свойства сочетаний[править]

Основные свойства сочетаний выражаются формулами:

  1. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,_n^n=1} ;
  2. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,_n^0=1} ;
  3. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,_n^k=C\,_{n}^{n-k}} ;
  4. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,_n^k=C\,_{n-1}^{k}+C\,_{n-1}^{k-1}} — рекуррентное свойство[5].

История[править]

Файл:Треугольник Паскаля.png
Фрагмент треугольника Паскаля

Термин «сочетание» (фран. combination) появляется у Блёза Паскаля в 1653 году, а в публикациях употребляется с 1665 года. В «Трактате об арифметическом треугольнике» («Traitd du triangle arithmdtique», 1665 год) Паскаль привёл основные соотношения между биномиальными коэффициентами[6]. Каждая n-я строка арифметической конструкции, названной впоследствии «треугольником Паскаля», содержит биномиальные коэффициенты: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_n^0,C_n^1,C_n^2,...C_n^n} [7].

Обозначение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,_n^k} по первой букве латинского названия введено британским математиком Робертом Поттсом в 1880 году (правда, в несколько иной форме: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ^nC_p} ). Второе принятое сейчас обозначение введено Леонардом Эйлером в виде Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( \frac{n}{m} \right )} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left [ \frac{n}{m} \right ]} , эти обозначения он употреблял в рукописях 1778, 1781 годов. Обозначения упрощены до современного вида венским математиком Андреасом фон Эттингсхаузеном (1827 год)[6].

Примечания[править]

  1. ↑ 1,0 1,1 Сочетания // Большая советская энциклопедия (В 30 томах) / Глав. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1976. — С. 258.
  2. ↑ 2,0 2,1 Комбинаторика // Большая советская энциклопедия (В 30 томах) / Глав. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1973. — С. 492.
  3. ↑ Сачков В. Н. Комбинаторный анализ. Большая российская энциклопедия. Проверено 12 августа 2025.
  4. ↑ Сочетания // Энциклопедия для детей / Глав. ред. М. Д. Аксенова. — М.: Аванта+, 2003. — С. 253—257. — ISBN 5-94623-072-7.
  5. ↑ Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10-11 класс. Часть 1. — М.: Мнемозина, 2013. — С. 328—329. — ISBN 978-5-346-02410-1.
  6. ↑ 6,0 6,1 Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь - справочник. — Изд. 3-е, испр. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — С. 74. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  7. ↑ Бином Ньютона // Энциклопедия для детей / Глав. ред. М. Д. Аксенова. — М.: Аванта+, 2003. — С. 257—260. — ISBN 5-94623-072-7.

Знание.Вики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Сочетания», расположенная по следующим адресам:

—https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Сочетания
—«https://znanierussia.ru/articles/Сочетания»

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Сочетания&oldid=2426752