Преобразования выражений, включающих операцию логарифмирования

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нахождение логарифмов чисел или выражений называется логарифмированием. Нахождение чисел или выражений по данным логарифмам называется потенцированием.

Способы упрощения выражений с логарифмами
  1. Перевести десятичные дроби в обыкновенные. Это может упростить выражение и сделать его более понятным. Например, выражение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2 (0,5)} можно перевести в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2 \!\left(\frac 1 2 \right)} .
  2. Перевести смешанные дроби в неправильные. Это позволит увидеть аналогии между функциями, содержащимися в выражении. Например, выражение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2 \!\left(2 \frac 1 2 \right)} можно перевести в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2 \!\left(\frac 5 2 \right)} .
  3. Разложить числа на множители. Это позволит увидеть сокращения, которые можно использовать для упрощения выражения. Например, выражение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2 (12)} можно разложить на множители как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2 (2^2 \cdot 3)} .
  4. Привести все логарифмы к одному основанию. Это позволит использовать свойства логарифмов для упрощения выражения. Например, пусть есть два логарифма: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2 (16)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_3 (16)} . Чтобы привести их к одному основанию, например 10, можно использовать формулу: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_{10} (16) = \log_2(16) / \log_2(10) = \log_3 (16) / \log_3 (10)} . Получатся логарифмы с одним основанием, что облегчает их сравнение и использование в дальнейших вычислениях.
  5. Воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения выражений. Например, свойство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log(a^b) = b \cdot \log(a)} можно использовать для упрощения выражения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2(10^2)} как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2 \cdot \log_2(10)} .

Логарифмирование и возведение в степень — взаимообратные операции. Их свойства аналогичны и вытекают друг из друга.

Основные свойства логарифмов[править]

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество[1]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^{\log_a b} = b}

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_a b=\log_a c} , то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^{\log_a b} = a^{\log_a c}} , откуда, согласно основному тождеству: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b=c} .

Логарифмы единицы и числа, равного основанию

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_a 1 = 0;\; \log_a a = 1.}
Логарифм произведения, частного, степени

Сводка формул в предположении, что все значения положительны[2]:

Формула Пример
Произведение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y)} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5}
Частное Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y)} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3}
Степень Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_a(x^p) = p \log_a (x)} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6}
Степень в основании Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_{(a^p)} (x) = \frac{1}{p} \log_a (x) = \frac{\log_a (x)}{p}} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_{2^{10}}{\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}} = \frac{\log_{2}{\frac{1}{2}}}{10} = -\frac{1}{10} = -0{,}1}
Переход к новому основанию Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)}}
a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log_a (b) = \frac{1}{\log_b (a)}}

Примечания[править]

  1. ↑ Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
  2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
Рувики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Преобразования выражений, включающих операцию логарифмирования», расположенная по адресу:

—https://ru.ruwiki.ru/wiki/Преобразования_выражений,_включающих_операцию_логарифмирования

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Преобразования_выражений,_включающих_операцию_логарифмирования&oldid=1998951