СМО с ограниченным временем ожидания
СМО с ограниченным временем ожидания — это система массового обслуживания с очередью, в которой «нетерпеливая» заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания.
Описание модели[править]
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «нетерпеливо» (в пределах ограниченного времени ожидания) ждёт своего обслуживания, иначе заявка уходит из очереди и исключается из обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний[править]
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
S2 — в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;
…;
Sk — в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;
…;
Sn — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 — в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка «нетерпеливо» ожидает в очереди;
…;
Sn+r — в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок «нетерпеливо» ожидают в очереди;
…;
Sn+m — в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок «нетерпеливо» ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений[править]
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы[править]
- Заметим, что при n=1 СМО с ограниченным временем ожидания становится одноканальной.
Другие СМО[править]
- СМО с отказами;
- СМО с очередью;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО с взаимопомощью с очередью;
- СМО с отказами и взаимопомощью;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО замкнутая без очереди.
Литература[править]
- Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания. — М.: «Машиностроение», 1969.