СМО с отказами

Многоканальные системы с отказами [8:04]

Математическая модель СМО с отказами

СМО с отказами — это система массового обслуживания, в которой есть каналы обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается любым одним каналом, если заявка приходит — когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается одним из свободных каналов, иначе если заявка приходит — когда заняты все каналы, то заявка покидает систему (теряется).

Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из n-каналов.

Если заявка застаёт свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной).

После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S₂ — в системе имеется две заявки, они обслуживается двумя каналами;

…;

S_k — в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

S_k+1 — в системе имеется (k+1)-заявок, они обслуживаются (k+1)-каналами;

…;

S_n-1 — в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;

S_n — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[math]\displaystyle{ \cases{p_0'(t)=-\lambda p_0(t)+\mu p_1(t) \\ p_1'(t)=\lambda p_0(t)-(\lambda +\mu)p_1(t)+2\mu p_2(t) \\ p_2'(t)=\lambda p_1(t)-(\lambda +2\mu)p_2(t)+3\mu p_3(t) \\ \ldots \\ p_k'(t)=\lambda p_{k-1}(t)-(\lambda +k\mu)p_k(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t) \\ p_{k+1}'(t)=\lambda p_{k}(t)-(\lambda +(k+1)\mu)p_{k+1}(t)+(k+2)\mu p_{k+2}(t) \\ \ldots \\ p_{n-1}'(t)=\lambda p_{n-2}(t)-(\lambda +(n-1)\mu)p_{n-1}(t)+n\mu p_{n}(t) \\ p_{n}'(t)=\lambda p_{n-1}(t)-n\mu p_{n}(t) \\ \sum\limits_{i=0}^{n}p_i(t)=1 \\ p_0(0)=1, \ p_1(0)=0, \ p_2(0)=0,\ldots, \ p_{n}(0)=0 } }[/math]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t → ∞).

Система уравнений принимает вид:

[math]\displaystyle{ \cases{-\lambda p_0+\mu p_1=0 \\ \lambda p_0-(\lambda +\mu)p_1+2\mu p_2=0 \\ \lambda p_1-(\lambda +2\mu)p_2+3\mu p_3=0 \\ \ldots \\ \lambda p_{k-1}-(\lambda +k\mu)p_k+(k+1)\mu p_{k}=0 \\ \lambda p_{k}-(\lambda +(k+1)\mu)p_{k+1}+(k+2)\mu p_{k+1}=0 \\ \ldots \\ \lambda p_{n-2}-(\lambda +(n-1)\mu)p_{n-1}+n\mu p_{n}=0 \\ \lambda p_{n-1}-n\mu p_{n}=0 \\ \sum\limits_{i=0}^{n}p_i=1 \\ } \ \Leftrightarrow \ \cases{-\lambda p_0+\mu p_1=0 \\ -\lambda p_1+2\mu p_2=0 \\ -\lambda p_2+3\mu p_3=0 \\ \ldots \\ -\lambda p_k+(k+1)\mu p_{k+1}=0 \\ -\lambda p_{k+1}+(k+2)\mu p_{k+2}=0 \\ \ldots \\ -\lambda p_{n-1}+n\mu p_n=0 \\ \lambda p_{n-1}-n\mu p_{n}=0 \\ \sum\limits_{i=0}^{n}p_i=1 \\ } }[/math]

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1, …, n), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁, …, p_n.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

• Заметим, что при n=1 СМО с отказами становится одноканальной.

Другие СМО

• СМО с очередью;
• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО замкнутая с очередью;
• СМО с взаимопомощью с очередью;
• СМО с отказами и взаимопомощью;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО с бесконечной очередью;
• СМО замкнутая без очереди.

Литература

• Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания — М: «Машиностроение», 1969.

Ссылки

• Участник:Logic-samara