Угол между плоскостями в трёхмерном пространстве

Видеоурок «Угол между плоскостями» // Математика от alwebra.com.ua [4:56]

Угол между плоскостями — это угол между направлениями нормалей этих плоскостей.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar n_1=(A_1,B_1,C_1) }[/math] — нормаль к первой плоскости;

[math]\displaystyle{ \bar n_2=(A_2,B_2,C_2) }[/math] — нормаль ко второй плоскости;

[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 }[/math] — уравнение первой плоскости;

[math]\displaystyle{ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 }[/math] — уравнение второй плоскости;

[math]\displaystyle{ φ_{\bar n_1\bar n_2} }[/math] — угол между первой и второй плоскостями [math]\displaystyle{ (0\lt φ_{\bar n_1\bar n_2}\lt π) }[/math].

Формула

[math]\displaystyle{ φ_{\bar n_1\bar n_2}=arccos\frac{\left(\bar n_1\cdot\bar n_2\right)}{\left|\bar n_1\right|\cdot\left|\bar n_2\right|} }[/math]

[math]\displaystyle{ φ_{\bar n_1\bar n_2}=arccos\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} }[/math]

Другие формулы

• Угол между векторами;
• Угол между прямыми;
• Угол между плоскостями;
• Угол между прямой и плоскостью.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.