Угол между прямыми в трёхмерном пространстве

Видеоурок «Угол между прямыми в пространстве» // Математика от alwebra.com.ua [4:07]

Угол между прямыми — это угол между направляющими векторами этих прямых.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar s_1=(l_1,m_1,n_1) }[/math] — направляющий вектор первой прямой;

[math]\displaystyle{ \bar s_2=(l_2,m_2,n_2) }[/math] — направляющий вектор второй прямой;

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} }[/math] — уравнение первой прямой;

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2} }[/math] — уравнение второй прямой;

[math]\displaystyle{ φ_{\bar s_1\bar s_2} }[/math] — угол между первой и второй прямыми [math]\displaystyle{ (0\lt φ_{\bar s_1\bar s_2}\lt π) }[/math].

Формула

[math]\displaystyle{ φ_{\bar s_1\bar s_2}=arccos\frac{\left(\bar s_1\cdot\bar s_2\right)}{\left|\bar s_1\right|\cdot\left|\bar s_2\right|} }[/math]

[math]\displaystyle{ φ_{\bar s_1\bar s_2}=arccos\frac{l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\cdot\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}} }[/math]

Другие формулы

• Угол между векторами;
• Угол между прямыми;
• Угол между плоскостями;
• Угол между прямой и плоскостью.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.