Угол между прямыми в трёхмерном пространстве

Видеоурок «Угол между прямыми в пространстве» // Математика от alwebra.com.ua [4:07]

Угол между прямыми — это угол между направляющими векторами этих прямых.

Обозначения

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор первой прямой;

${\bar {s}}_{2}=(l_{2},m_{2},n_{2})$ — направляющий вектор второй прямой;

${\frac {x-x_{1}}{l_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{m_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{n_{1}}}$ — уравнение первой прямой;

${\frac {x-x_{2}}{l_{2}}}={\frac {y-y_{2}}{m_{2}}}={\frac {z-z_{2}}{n_{2}}}$ — уравнение второй прямой;

$\varphi _{{\bar {s}}_{1}{\bar {s}}_{2}}$ — угол между первой и второй прямыми $(0<\varphi _{{\bar {s}}_{1}{\bar {s}}_{2}}<\pi )$.

Формулы

Векторная форма

$\varphi _{{\bar {s}}_{1}{\bar {s}}_{2}}=arccos{\frac {\left({\bar {s}}_{1}\cdot {\bar {s}}_{2}\right)}{\left|{\bar {s}}_{1}\right|\cdot \left|{\bar {s}}_{2}\right|}}$

Координатная форма

$\varphi _{{\bar {s}}_{1}{\bar {s}}_{2}}=arccos{\frac {l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}}{{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}}}}}$

Другие формулы:

1. Угол между векторами;
2. Угол между прямыми;
3. Угол между плоскостями;
4. Угол между прямой и плоскостью;
5. Тригонометрические функции углов.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.