Участник:Alexander/Интегральная форма квантовой гравитации

Интегральная форма квантовой теории гравитации базируется на уравнениях гравитационного поля Эйнштейна, лежащих в основе общей теории относительности.

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

где $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$ — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор, $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени $R_{abcd}$ посредством свёртки его по паре индексов, $R$ — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, $g_{\mu \nu }$ — метрический тензор, $\Lambda$ — космологическая постоянная, а $T_{\mu \nu }$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, $\pi$ — число пи, $c$ — скорость света в вакууме, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона).

В приведенной форме сущность правой стороны уравнений Эйнштейна сильно затемнена. Целесообразно переписать эти уравнения, сгруппировав константы в отдельные множители, имеющие определенный смысл:

$\left({\frac {1}{4\,\pi }}\right)(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })=2\,\left({\frac {G}{c^{3}}}\right)\left({\frac {1}{c}}\,\,T_{\mu \nu }\right)$

Простая перегруппировка множителей позволяет глубже проникнуть в физическую природу явления. Множитель $(1/c)\,T_{\mu \nu }$ связан с плотностью и потоком энергии-импульса материи, а с помощью множителя $(G/c^{3})$ можно выполнить переход к планковскому масштабу, так как такой же множитель присутствует и в выражении для планковской длины $\ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\,\hbar }}$.

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым, т.е. искривлённым. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Для любого тензорного поля $N_{\mu \nu ...}$ величину $N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}$ можно назвать тензорной плотностью, где $g$ — определитель метрического тензора $g_{\mu \nu }$. Когда область интегрирования мала, $\int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат. Здесь рассматриваются только малые области. Вышесказанное справедливо и при интегрировании по трёхмерной гиперповерхности $S^{\nu }$.

Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства-времени можно проинтегрировать по трёхмерной гиперповерхности $S^{\nu }$. Имеем:

${\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{3}}\int \left({1 \over c}T_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$

Так как интегрируемая область пространства-времени мала, получаем тензорное уравнение:

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$

где $P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — 4-импульс, $R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — радиус кривизны малой области пространства-времени.

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. Так как $P_{\mu }=mc\,U_{\mu }$, то:

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }$

где $r_{g}$ — радиус Шварцшильда, $U_{\mu }$ — 4-скорость, $m$ — гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величин $R_{\mu }$ как компонент гравитационного радиуса $r_{g}$.

Выражение для гравитационного радиуса $r_{g}=2\,(G/c^{3})mc$ является более удобной формой записи, чем форма $r_{g}=2\,(G/c^{2})m$. В этом случае видна преемственность между полученным тензорным уравнением и выражением для гравитационного радиуса массивного тела.

Для статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем $U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)$. В этом случае получаем:

$R_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}\,mc=r_{g}$

В малой области пространство-время практически плоское и это уравнение можно написать в операторном виде:

${\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$

Отсюда следует, что основное уравнение квантовой теории гравитации должно иметь вид (аналогично уравнению Шредингера):

Основное уравнение квантовой гравитации $-2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}|\Psi (x_{\mu })\rangle ={\hat {R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle$

где $\ell _{P}$ - фундаментальная планковская длина.

В этом уравнении временная и пространственные координаты равноправны. Вид оператора ${\hat {R}}_{\mu }$ зависит от конкретной ситуации.

Коммутатор операторов ${\hat {R}}_{\mu }$ и ${\hat {x}}_{\mu }$ равен:

$[{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}$

Отсюда следуют соотношения неопределённостей:

$\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}$

которые являются другой формой соотношений неопределенностей Гейзенберга.

Действительно, подставляя сюда значения $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }$ и $\ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}$ и сокращая справа и слева одинаковые константы, получаем соотношения неопределённостей Гейзенберга.

$\Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc\,U_{\mu })\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}$

В частном случае статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем $U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)$ и остается:

$\Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$

где $r_{g}$ - радиус Шварцшильда, $r$ - радиальная координата. Здесь $R_{0}=r_{g}$, а $x_{0}=c\,t=r$, т.к. на планковском уровне материя движется со скоростью света.

Последнее соотношение неопределённостей позволяет делать некоторые оценки уравнений ОТО применительно к планковскому масштабу. Например, выражение для инвариантного интервала $dS$ в решении Шварцшильда имеет вид:

$dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Подставляя сюда, согласно соотношениям неопределённостей, вместо $r_{g}$ величину $r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r$ получим:

$dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Видно, что на планковском уровне $r=\ell _{P}$ инвариантный интервал $dS$ ограничен снизу планковской длиной, на этом масштабе появляется деление на ноль, что означает образование реальных и виртуальных планковских черных дыр.

Аналогичные оценки можно выполнить и для других уравнений ОТО. В макроскопической физике, встречаясь с тяжелым телом, надо прежде всего оценить отношение гравитационного радиуса к расстоянию до центра притяжения $\zeta ={r_{g}}/{r}$ и мы уже будем знать многое о величине эффектов, связанных с общей теорией относительности. Например, параметром $\zeta$ определяется масштаб изменения хода часов. Для Солнца параметр $\zeta$ составляет примерно $4\cdot 10^{-6}$ или $1,76$ угл.сек, то есть луч света, проходя вблизи края диска Солнца, отклонится на величину порядка $4\cdot 10^{-6}$ радиан. Для Меркурия этот параметр будет составлять $10^{-7}$, что за сто земных лет дает для смещения перигелия Меркурия $43$ угл.сек. Параметр $\zeta$ входит и во все остальные оценки. Но, как мы выяснили выше, параметр $\zeta =r_{g}/r$ на планковском уровне имеет вид $\sim \ell _{P}^{2}/r^{2}$, поэтому для того, чтобы сделать оценку любого соотношения, получаемого в рамках общей теории относительности применительно к планковскому масштабу, необходимо отношение $r_{g}/r$ заменить выражением $\zeta \sim \ell _{P}^{2}/r^{2}$. Например, известно, что скорость света в некотором месте с гравитационным потенциалом $\varphi =-Gm/r$ равна $c\,'=c\,(1+2\,\varphi /c^{2})=c\,(1-r_{g}/r)$. Тогда на планковском масштабе из-за квантовых флуктуаций потенциала выражение для скорости света будет иметь вид $c\,'=c\,(1-\ell _{p}^{2}/(\Delta \lambda )^{2})$. Здесь $\lambda$ -- длина волны света, испускаемого источником. Чем большее расстояние от источника пройдет свет и чем короче его длина волны, тем сильнее будет заметна дисперсия лучей из-за накопившихся искажений. В данном случае неоднородности скорости фотонов $\Delta c=c\,\ell _{p}^{2}/(\Delta \lambda )^{2}$ определяются не планковской длиной, а её квадратом , так что эти неоднородности неизмеримо малы (порядка $10^{-56}\,c$ для $\lambda =10^{-7}$ м) и изображения удаленных источников будут резкими даже на метагалактических расстояниях.

Метрика пространства-времени $g_{00}\approx 1-\Delta g=1-\ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}$ флуктуирует и генерирует пространственно-временную пену, состоящую из виртуальных планковских черных дыр и червоточин. Лоренц-инвариантность нарушается на планковском масштабе. Но эти флуктуации $\Delta g\sim \ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}$ в макромире и в мире атомов очень малы по сравнению с $1$ и становятся заметными только на планковском масштабе. Флуктуации $\Delta g$ необходимо учитывать при использовании метрики специальной теории относительности $(+1,-1,-1,-1)$ в очень малых областях пространства и при больших импульсах. То есть выражение для инвариантного интервала $dS$ должно иметь вид:

$dS^{2}=\left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{{(\Delta r)}^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{{(\Delta r)}^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Однако ввиду малости величины $\ell _{P}^{\,2}/(\Delta r)^{2}$ выражение для инвариантного интервала в специальной теории относительности всегда записывается в галилеевой метрике $(+1,-1,-1,-1)$, что вообще-то не соответствует действительности. Правильное выражение должно учитывать флуктуации метрики пространства-времени и наличие виртуальных черных дыр при планковском масштабе расстояний. Игнорирование этого обстоятельства ведет к ультрафиолетовым расходимостям в квантовой теории поля.

Как отмечено у Редже (1958), "для области пространства-времени с размерами $L$ неопределенность символов Кристоффеля должна быть порядка $\ell _{P}^{2}/L^{3}$, а неопределенность метрического тензора — порядка $\ell _{P}^{2}/L^{2}$. Если $L$ — макроскопическая длина, то квантовые ограничения фантастически малы и ими можно пренебрегать даже в атомных масштабах. Если же величина $L$ сравнима с $\ell _{P}$, то сохранить прежнее (обычное) понятие пространства становится все труднее и труднее и становится очевидным влияние микрокривизны."

Выражение для флуктуаций метрики $\Delta g\sim \ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}$ согласуется с соотношением неопределенностей Бора-Розенфельда $\Delta g\,(\Delta r)^{2}\gtrsim \ell _{P}^{2}$.

Эти мелкомасштабные флуктуации говорят о том, что повсюду в пространстве все время происходит нечто похожее на гравитационный коллапс, что гравитационный коллапс по существу постоянно совершается, но постоянно совершается и обратный процесс, что кроме гравитационного коллапса Вселенной и звезды необходимо рассматривать также третий и наиболее важный уровень гравитационного коллапса при планковском масштабе расстояний.

Выписанные выше соотношения неопределенностей справедливы для любых гравитационных полей, так как в достаточно малой области любого сильного гравитационного поля пространство-время является практически плоским.

Виртуальные планковские черные дыры важны для теории элементарных частиц. Дело в том, что при проведении расчетов в современной квантовой теории и, в частности, при вычислении собственной энергии частиц обычно учитывают вклад промежуточных состояний с произвольно большой энергией, что приводит к появлению известных расходимостей. Учет гравитационного взаимодействия соответствующих виртуальных частиц и возможности появления виртуальных (короткоживущих) черных дыр в промежуточном состоянии должен привести к устранению этих расходимостей.

Видно, что планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10⁻³⁵ метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера. Уменьшение $\Delta r$ приведет к увеличению $\Delta r_{g}$ и наоборот. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры.

Важно отметить, что длина Планка относится к внутренней архитектуре частиц и объектов. Многие другие величины, имеющие единицы длины, могут быть намного короче планковской длины. Например, длина волны фотона может быть произвольно короткой: любой фотон может быть усилен, как гарантирует специальная теория относительности, так что его длина волны станет еще короче.

Образование вакуума, состоящего из виртуальных планковских чёрных дыр и червоточин (квантовой пены, основы "ткани" Вселенной), энергетически наиболее выгодно в трёхмерном пространстве, что, скорее всего, предопределило 4-мерность наблюдаемого пространства-времени.

Проблема сингулярностей в планковских черных дырах разрешается, если предположить, что сингулярности многомерны и потому обладают неограниченной вместимостью и конечной плотностью материи (см., § 5). Таким образом, трехмерность внешнего, наблюдаемого пространства обусловлена энергетической выгодностью при формировании виртуальных планковских черных дыр, а многомерный характер скрытых под горизонтом событий сингулярностей решает проблему бесконечной плотности коллапсирующей материи.