Участник:Alexander/Интегральная форма квантовой гравитации

Интегральная форма квантовой теории гравитации базируется на уравнениях гравитационного поля Эйнштейна, лежащих в основе общей теории относительности.

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

где $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$ — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор, $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени $R_{abcd}$ посредством свёртки его по паре индексов, $R$ — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, $g_{\mu \nu }$ — метрический тензор, $\Lambda$ — космологическая постоянная, а $T_{\mu \nu }$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, $\pi$ — число пи, $c$ — скорость света в вакууме, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона).

В приведенной форме сущность правой стороны уравнений Эйнштейна сильно затемнена. Целесообразно переписать эти уравнения, сгруппировав константы в отдельные множители, имеющие определенный смысл:

$\left({\frac {1}{4\,\pi }}\right)(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })=2\,\left({\frac {G}{c^{3}}}\right)\left({\frac {1}{c}}\,\,T_{\mu \nu }\right)$

Простая перегруппировка множителей позволяет глубже проникнуть в физическую природу явления. Множитель $(1/c)\,T_{\mu \nu }$ связан с плотностью и потоком энергии-импульса материи, а с помощью множителя $(G/c^{3})$ можно выполнить переход к планковскому масштабу, так как такой же множитель присутствует и в выражении для планковской длины $\ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\,\hbar }}$.

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым, т.е. искривлённым. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Для любого тензорного поля $N_{\mu \nu ...}$ величину $N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}$ можно назвать тензорной плотностью, где $g$ — определитель метрического тензора $g_{\mu \nu }$. Когда область интегрирования мала, $\int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат. Здесь рассматриваются только малые области. Вышесказанное справедливо и при интегрировании по трёхмерной гиперповерхности $S^{\nu }$.

Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства-времени можно проинтегрировать по трёхмерной гиперповерхности $S^{\nu }$. Имеем:

${\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{3}}\int \left({1 \over c}T_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$

Так как интегрируемая область пространства-времени мала, получаем тензорное уравнение:

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$

где $P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — 4-импульс, $R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — радиус кривизны малой области пространства-времени.

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. Так как $P_{\mu }=mc\,U_{\mu }$, то:

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }$

где $r_{g}$ — радиус Шварцшильда, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_{\mu}} — 4-скорость, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} — гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величин Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\mu}} как компонент гравитационного радиуса Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_g} .

Выражение для гравитационного радиуса Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_g=2\,(G/c^3)mc} является более удобной формой записи, чем форма Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_g=2\,(G/c^2)m} . В этом случае видна преемственность между полученным тензорным уравнением и выражением для гравитационного радиуса массивного тела.

Для статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_{0}=1, U_i=0 \,(i=1,2,3)} . В этом случае получаем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_0=\frac{2G}{c^3}mc\,U_0=\frac{2G}{c^3}\,mc=r_g}

В малой области пространство-время практически плоское и это уравнение можно написать в операторном виде:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat R_{\mu}=\frac{2G}{c^3}\hat P_{\mu}=\frac{2G}{c^3}(-i\hbar )\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=-2i\,\ell^2_{P}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}

Отсюда следует, что основное уравнение квантовой теории гравитации должно иметь вид (аналогично уравнению Шредингера):

Основное уравнение квантовой гравитации Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -2i\ell^2_{P}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}|\Psi(x_{\mu})\rangle=\hat R_{\mu}|\Psi(x_{\mu})\rangle}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_P} - фундаментальная планковская длина.

В этом уравнении временная и пространственные координаты равноправны. Вид оператора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat R_{\mu}} зависит от конкретной ситуации.

Коммутатор операторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat R_{\mu}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat x_{\mu}} равен:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [\hat R_{\mu},\hat x_{\mu}]=-2i\ell^2_{P}}

Отсюда следуют соотношения неопределённостей:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta R_{\mu}\Delta x_{\mu}\ge\ell^2_{P}}

которые являются другой формой соотношений неопределенностей Гейзенберга.

Действительно, подставляя сюда значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\mu}=\frac{2G}{c^3}m\,c\,U_{\mu}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell^2_{P}=\frac{\hbar\,G}{c^3}} и сокращая справа и слева одинаковые константы, получаем соотношения неопределённостей Гейзенберга.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta P_{\mu}\Delta x_{\mu}=\Delta (mc\,U_{\mu})\Delta x_{\mu}\ge\frac{\hbar}{2}}

В частном случае статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_{0}=1, U_i=0 \,(i=1,2,3)} и остается:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_g\Delta r\ge\ell^2_{P}}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_g} - радиус Шварцшильда, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r} - радиальная координата. Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_0=r_g} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=c\,t=r} , т.к. на планковском уровне материя движется со скоростью света.

Последнее соотношение неопределённостей позволяет делать некоторые оценки уравнений ОТО применительно к планковскому масштабу. Например, выражение для инвариантного интервала Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dS} в решении Шварцшильда имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dS^2=\left( 1-\frac{r_g}{r}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ 1-{r_g}/{r}}-r^2(d\Omega^2+\sin^2\Omega d\varphi^2)}

Подставляя сюда, согласно соотношениям неопределённостей, вместо Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_g} величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_g\approx\ell^2_P/r} получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dS^2\approx\left( 1-\frac{\ell^2_{P}}{r^2}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ 1-{\ell^2_{P}}/{r^2}}-r^2(d\Omega^2+\sin^2\Omega d\varphi^2)}

Видно, что на планковском уровне Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=\ell_P} инвариантный интервал Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dS} ограничен снизу планковской длиной, на этом масштабе появляется деление на ноль, что означает образование реальных и виртуальных планковских черных дыр.

Аналогичные оценки можно выполнить и для других уравнений ОТО. В макроскопической физике, встречаясь с тяжелым телом, надо прежде всего оценить отношение гравитационного радиуса к расстоянию до центра притяжения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \zeta={r_g}/{r}} и мы уже будем знать многое о величине эффектов, связанных с общей теорией относительности. Например, параметром Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \zeta} определяется масштаб изменения хода часов. Для Солнца параметр Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \zeta} составляет примерно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4\cdot 10^{-6}} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1,76} угл.сек, то есть луч света, проходя вблизи края диска Солнца, отклонится на величину порядка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4\cdot 10^{-6}} радиан. Для Меркурия этот параметр будет составлять Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{-7}} , что за сто земных лет дает для смещения перигелия Меркурия Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 43} угл.сек. Параметр Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \zeta} входит и во все остальные оценки. Но, как мы выяснили выше, параметр Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \zeta=r_g/r} на планковском уровне имеет вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sim\ell^2_{P}/r^2} , поэтому для того, чтобы сделать оценку любого соотношения, получаемого в рамках общей теории относительности применительно к планковскому масштабу, необходимо отношение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_g/r} заменить выражением Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \zeta\sim\ell^2_{P}/r^2} . Например, известно, что скорость света в некотором месте с гравитационным потенциалом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi=-Gm/r} равна Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c\,'=c\,(1+2\,\varphi/c^2)=c\,(1-r_g/r)} . Тогда на планковском масштабе из-за квантовых флуктуаций потенциала выражение для скорости света будет иметь вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c\,'=c\,(1-\ell_p^2/(\Delta\lambda)^2)} . Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} -- длина волны света, испускаемого источником. Чем большее расстояние от источника пройдет свет и чем короче его длина волны, тем сильнее будет заметна дисперсия лучей из-за накопившихся искажений. В данном случае неоднородности скорости фотонов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta c=c\,\ell_p^2/(\Delta\lambda)^2} определяются не планковской длиной, а её квадратом , так что эти неоднородности неизмеримо малы (порядка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{-56}\,c} для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=10^{-7}} м) и изображения удаленных источников будут резкими даже на метагалактических расстояниях.

Метрика пространства-времени Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g_{00}\approx 1-\Delta g= 1-\ell^2_P/(\Delta r)^2} флуктуирует и генерирует пространственно-временную пену, состоящую из виртуальных планковских черных дыр и червоточин. Лоренц-инвариантность нарушается на планковском масштабе. Но эти флуктуации Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta g\sim\ell^2_P/(\Delta r)^2} в макромире и в мире атомов очень малы по сравнению с Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} и становятся заметными только на планковском масштабе. Флуктуации Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta g} необходимо учитывать при использовании метрики специальной теории относительности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (+1,-1,-1,-1)} в очень малых областях пространства и при больших импульсах. То есть выражение для инвариантного интервала Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dS} должно иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dS^2=\left( 1-\frac{\ell^2_{P}}{{(\Delta r)}^2}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ 1-{\ell^2_{P}}/{{(\Delta r)}^2}}-r^2(d\Omega^2+\sin^2\Omega d\varphi^2)}

Однако ввиду малости величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell^{\,2}_P/(\Delta r)^2} выражение для инвариантного интервала в специальной теории относительности всегда записывается в галилеевой метрике Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (+1,-1,-1,-1)} , что вообще-то не соответствует действительности. Правильное выражение должно учитывать флуктуации метрики пространства-времени и наличие виртуальных черных дыр при планковском масштабе расстояний. Игнорирование этого обстоятельства ведет к ультрафиолетовым расходимостям в квантовой теории поля.

Как отмечено у Редже (1958), "для области пространства-времени с размерами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} неопределенность символов Кристоффеля должна быть порядка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell^2_P/L^3} , а неопределенность метрического тензора — порядка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell^2_P/L^2} . Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} — макроскопическая длина, то квантовые ограничения фантастически малы и ими можно пренебрегать даже в атомных масштабах. Если же величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} сравнима с Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_P} , то сохранить прежнее (обычное) понятие пространства становится все труднее и труднее и становится очевидным влияние микрокривизны."

Выражение для флуктуаций метрики Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta g\sim\ell^2_P/(\Delta r)^2} согласуется с соотношением неопределенностей Бора-Розенфельда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta g\,(\Delta r)^2\gtrsim\ell^2_P} .

Эти мелкомасштабные флуктуации говорят о том, что повсюду в пространстве все время происходит нечто похожее на гравитационный коллапс, что гравитационный коллапс по существу постоянно совершается, но постоянно совершается и обратный процесс, что кроме гравитационного коллапса Вселенной и звезды необходимо рассматривать также третий и наиболее важный уровень гравитационного коллапса при планковском масштабе расстояний.

Выписанные выше соотношения неопределенностей справедливы для любых гравитационных полей, так как в достаточно малой области любого сильного гравитационного поля пространство-время является практически плоским.

Виртуальные планковские черные дыры важны для теории элементарных частиц. Дело в том, что при проведении расчетов в современной квантовой теории и, в частности, при вычислении собственной энергии частиц обычно учитывают вклад промежуточных состояний с произвольно большой энергией, что приводит к появлению известных расходимостей. Учет гравитационного взаимодействия соответствующих виртуальных частиц и возможности появления виртуальных (короткоживущих) черных дыр в промежуточном состоянии должен привести к устранению этих расходимостей.

Видно, что планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10⁻³⁵ метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера. Уменьшение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta r} приведет к увеличению Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta r_g} и наоборот. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры.

Важно отметить, что длина Планка относится к внутренней архитектуре частиц и объектов. Многие другие величины, имеющие единицы длины, могут быть намного короче планковской длины. Например, длина волны фотона может быть произвольно короткой: любой фотон может быть усилен, как гарантирует специальная теория относительности, так что его длина волны станет еще короче.

Образование вакуума, состоящего из виртуальных планковских чёрных дыр и червоточин (квантовой пены, основы "ткани" Вселенной), энергетически наиболее выгодно в трёхмерном пространстве, что, скорее всего, предопределило 4-мерность наблюдаемого пространства-времени.

Проблема сингулярностей в планковских черных дырах разрешается, если предположить, что сингулярности многомерны и потому обладают неограниченной вместимостью и конечной плотностью материи (см., § 5). Таким образом, трехмерность внешнего, наблюдаемого пространства обусловлена энергетической выгодностью при формировании виртуальных планковских черных дыр, а многомерный характер скрытых под горизонтом событий сингулярностей решает проблему бесконечной плотности коллапсирующей материи.