Квантовая теория поля

График плотности электрон-позитронной плазмы, полученной при столкновении четырех сверхмощных пучков света

Квантовая теория поля (КТП; также называемая теорией квантованных полей) — одна из парадигм (подходов) в теоретической физике, рассматривающая частицы как возбуждения некой протяжённой в пространстве системы, во многих случаях называемой полем.

Квантовая теория поля описывает создание, гибель (квази)частиц, а также превращения одних (квази)частиц в другие. Квантовая механика отличается от КТП тем, что рассматривает поведение системы с заданным составом, то есть числом и сортами (квази)частиц, но не рассматривает процессы, изменяющие этот состав. Также, как и в квантовой механике, в КТП имеется несколько математических формализмов^[⇨], не всегда хорошо согласованных друг с другом.

Основы

В соответствии с названием, КТП была разработана для нужд теории поля, в особенности в приложениях к атомной, ядерной физике и для описания фундаментальных взаимодействий. В названном дискурсе под «частицами» понимаются субатомные частицы. Однако, приложения понятийного аппарата КТП выходят далеко за пределы изучения атомов, электронов, ядер и подобных объектов в отдельности. Что́ при этом считать основными понятиями квантовой теории поля, зависит от того, от каких представлений отталкиваться, как от хорошо знакомых.

Полевые наблюдаемые как квантовые

Начиная с ранних работ было предложено считать полевые наблюдаемые «q-числами», что на современном языке называется либо операторами, либо элементами (некоммутативной) алгебры. Можно сказать и так, что полевые переменные, бывшие просто функциями у классического поля, становятся операторнозначными (обобщёнными) функциями для квантованного поля.

Возникает следующая проблема: даже если алгебру наблюдаемых таким образом построить можно, то неясно, может ли она быть представлена на гильбертовом пространстве, имеющем разумное описание, и как именно. Если в классической механике набор степеней свободы конкретной системы, как правило, конечен, то модели поля (за исключением простейших) обладают бесконечным числом степеней свободы. Уже классические полевые наблюдаемые являются функциями на чём-то неограниченной размерности, и вовсе не ясно, на чём соответственные им квантовые наблюдаемые должны быть операторами.

Состояния частиц как операторы

С другой стороны, «состояния поля» (описываемые гильбертовым пространством, угаданным в соответствии с указаниями выше или введённым как-либо иначе) можно интерпретировать как состояния системы переменного числа частиц — квантов. Для этого каждому состоянию частицы с параметром x следует сопоставить оператор рождения a^†(x), увеличивающий число частиц на 1 добавлением заданной.

Аналогично вводится оператор уничтожения a(x), выполняющий, с точностью до числового множителя, уменьшение числа частиц на 1 изъятием указанного состояния. Как правило, операторы a^† и a эрмитово сопряжены друг другу для каждого одночастичного состояния.

В аспекте описания частиц КТП отличается от квантовой механики, где конкретное состояние частицы обычно описывается волновой функцией или каким-нибудь ещё элементом (вектором) гильбертова пространства.

Попытка описать пространство состояний квантовополевой системы явно в вышеизложенных терминах частиц приводит к математической конструкции пространства Фока; для этого следует также предположить наличие состояния |0⟩, в котором 0 частиц.

От возбуждений системы к «частицам»

Два состояния спинона. Па́ры спинов, обозначенные синими эллипсами, зацеплены

Если, с одной стороны, КТП объявляет известные по наблюдениям микрочастицы возбуждениями вакуума, то, с другой стороны, различные возбуждения материальной среды (звук, механические или электромагнитные вихри, дефекты на атомном уровне или специфически квантовые явления) допускается рассматривать как квазичастицы — объекты, обладающие не только энергией, но и способностью двигаться в своей среде, внутренним вращением, взаимодействием с факторами среды, частицами или себе подобными, а иногда — также античастицами, постоянным зарядом и прочими атрибутами, характерными для «настоящих» атомных или субатомных частиц. Следует подобрать квазичастицам адекватные операторы рождения и уничтожения, а также указать «основное» состояние системы взамен физического вакуума.

Разновидности

Формализмы, которые применяют или пытались применять к квантовой теории поля, включают:

• Каноническое квантование (квантование по Дираку) — переход от наблюдаемых (какой-либо) классической теории поля к квантовым наблюдаемым, то есть операторам, примерно в соответствии с написанным выше.
• Теория S-матриц, развитая Н. Н. Боголюбовым в порядке альтернативы представлениям, оформившимся впоследствии в Стандартную модель. Теорию пытались строить, опираясь на аксиомы (а не конкретные математические модели).
• Алгебраическая (или локальная) КТП — ещё одна разновидность аксиоматического подхода к КТП. Формулировка, как пространственно-временная, избегает (в отличие от канонического квантования) концептуальной проблемы относительности одновременности.
• Некоммутативная КТП названа в честь «некоммутативной» школы математической физики, основанной Аленом Конном. Включает квантование по Конну — ещё одну альтернативу подходу Дирака.
• КТП при конечной температуре (англ. thermal [quantum] field theory) — синтез квантовой теории поля и статистической механики.
• Топологическая КТП — разновидность теории поля на многообразиях в качестве пространства-времени. Некоторые разновидности интересуют, преимущественно, чистых математиков, поскольку могут вычислять топологические инварианты.
• Теория струн.

Профессор В. С. Фадин читает лекцию по КТП в ИЯФ

Во множестве квантовых теорий поля так или иначе задействованы диаграммы Фейнмана (справа на фото), хотя едва ли их можно назвать отдельным формализмом.

Математический аппарат

Модели, построенные на основе КТП, обычно требуют продвинутую математику, в особенности теории операторов, ассоциативных алгебр (и их представлений). Для описания фермионов нашли применение алгебры Клиффорда. Квантовая электродинамика (КЭД) допускает формулировку и использованием алгебр Хопфа; возможно приложение этого аппарата и в прочих подобных теориях. В физике высоких энергий (КЭД, КХД и т. д.) требуется также анализ: комплексный (включая многомерный) и «простой» математический.

Интеграл по траекториям (на анимации) широко применяется в моделях, где необходима релятивистская^[⇨] инвариантность, а его строгое обоснование зависит от теории меры на бесконечномерных пространствах. Гомотопическая топология требуется, помимо упомянутой топологической КТП, также в некоторых приложениях к физике кристаллов.

Наивное применение математики ко многим проблемам КТП приводит к бесконечным или вовсе неопределённым результатам; в качестве одного из возможных решений разработана теория перенормировок. Во многих случаях построение аккуратно математизированной теории далеко от завершения.

Место в физике

Квантовая теория поля — стандартный способ совместить квантовую физику со специальной теорией относительности. Релятивистская квантовая «чистая» (с сохранением частиц) механика не играет в теоретической физике существенной роли. При этом теория отнюдь не всякого квантованного поля релятивистски инвариантна; к примеру, теория процессов в твёрдом теле «привязана» к телу с его системой отсчёта, так что и не должна выдерживать преобразования Лоренца.

Попытки применить КТП для описания гравитации (в частности, совместить КТП и ОТО) не привели к появлению теорий, имеющих широкое признание. Тем не менее, употребляется слово «гравитон», означающее (гипотетический) квант гравитационного поля по аналогии с другими взаимодействиями. Частичная совместимость КТП с ОТО обеспечивается теориями квантованных полей в заданном искривлённом пространстве-времени (то есть, на фоне классического гравитационного поля, не зависящего от квантовых переменных). Такие полевые модели важны, в частности, для теоретического изучения свойств и судьбы чёрных дыр.

Роджер Пенроуз (будучи специалистом по ОТО) и его школа попытались применить свои модели пространства-времени к физике частиц. Объединяющей теории гравитации и ядерных сил не получилось, но был дан толчок к развитию конформной теории поля. Конформная теория поля вызывает значительный интерес теоретиков в связи с так называемым голографическим принципом.

В квантовых теориях нередко фигурирует суперсимметрия — положение о двойственности фермионов и бозонов. Однако, применительно к субатомным частицам нет никакого подтверждения существованию такой симметрии несмотря на проводившиеся (в частности, на LHC) поиски.

Применения

Большинство применений КТП, полезных на практике, относится к физике конденсированного состояния. Квантовая теория поля (в контексте статистики Бозе — Эйнштейна) описывает сверхпроводимость, сверхтекучесть, принцип действия лазера. Её применение к электронам важно для понимания электропроводности и полупроводниковых устройств.

Как квантовая физика, так и теория поля важны для теоретического оформления физики высоких энергий, что делает КТП необходимым ингредиентом любой физической модели, применимой к этой области.

История

Основание

Первая работа по квантованию поля, нем. Zur Quantenmechanik II, была написана совместно Гейзенбергом, Борном и Йорданом и вышла в 1926 году. В дальнейшем развитии идей КТП участвовали Ферми, Паули, и в особенности Дирак, кто на долгое время стал «идеологом» теории. В первые тридцать лет существования теория добилась блестящих успехов с электромагнитным полем (то есть, с фотонами) и научилась также описывать заряженные частицы (в особенности, электроны с позитронами). Однако, распространение на другие поля натолкнулась на преграды: нехватку знаний о тех полях и отсутствие нужной (для сложнее устроенных полей) математики.

Нобелевские премии

Ряд Нобелевских премий по физике было выдано за работы в области КТП, а также связанные с предметами изучения КТП.

• 1927 г. — Артур Комптон, за открытие эффекта, названного его именем (экспериментальная работа, стимулировавшая разработку квантовой электродинамики).
• 1933 г. — Эрвин Шрёдингер, Поль Дирак, за открытие новых методов в атомной теории (Дирак заложил основы КТП некоторыми из этих работ).
• 1936 г. — Карл Дейвид Андерсон, за открытие позитрона (частицы, предсказанной теорией Дирака).
• 1945 г. — Вольфганг Паули, за открытие принципа исключения, именуемого принципом Паули.
• 1949 г. — Хидэки Юкава, за предсказание существования мезонов.
• 1955 г. — Уиллис Юджин Лэмб, за открытия, связанные с тонкой структурой спектра водорода (эффект, объясняемый квантовой электродинамикой).
• 1957 г. — Янг Чжэньнин, Ли Чжэндао, за исследование так называемых законов чётности, привёдшее к важным открытиям в физике элементарных частиц.
• 1961 г. — Роберт Хофштадтер, за основополагающие исследования рассеяния электронов на атомных ядрах и за связанные с ними открытия, касающиеся структуры нуклонов.
• 1962 г. — Лев Давидович Ландау, за новаторские теории конденсированных сред, в особенности жидкого гелия.
• 1963 г. — Юджин Вигнер, за вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и применения фундаментальных принципов симметрии.
• 1964 г. — Николай Геннадиевич Басов, Александр Михайлович Прохоров, Чарлз Хард Таунс, за фундаментальные работы в области квантовой электроники, привёдшие к созданию генераторов и усилителей на лазерно-мазерном принципе.
• 1965 г. — Ричард Фейнман, Джулиан Швингер, Синъитиро Томонага, за фундаментальные работы по квантовой электродинамике, имевшие глубокие последствия для физики элементарных частиц.
• 1969 г. — Мюррей Гелл-Манн, за открытия, связанные с классификацией элементарных частиц и их взаимодействий.
• 1972 г. — Джон Бардин, Леон Нил Купер, Джон Роберт Шриффер, за создание теории сверхпроводимости, обычно называемой БКШ-теорией.
• 1976 г. — Бертон Рихтер, Сэмюэл Тинг, за основополагающий вклад в открытие тяжёлой элементарной частицы нового типа (шаг к построению Стандартной модели).
• 1979 г. — Шелдон Ли Глэшоу, Абдус Салам, Стивен Вайнберг, за вклад в объединённую теорию слабого и электромагнитного взаимодействий, в том числе предсказание слабых нейтральных токов (ещё один шаг).
• 1980 г. — Джеймс Уотсон Кронин, Вал Логсдон Фитч, за открытие нарушений симметрии в распаде нейтральных K-мезонов.
• 1985 г. — Клаус фон Клитцинг, за открытие квантового эффекта Холла.
• 1990 г. — Джером Фридман, Генри Кендалл, Ричард Тейлор, за пионерские исследования глубоко неупругого рассеяния электронов на протонах и связанных нейтронах, что имело большое значение для развития кварковой модели.
• 1996 г. — Дэвид Моррис Ли, Дуглас Ошеров, Роберт Ричардсон, за открытие сверхтекучести гелия-3.
• 1998 г. — Роберт Лафлин, Хорст Штермер, за открытие новой формы квантового флюида с возбуждениями[квазичастицами], имеющими дробный электрический заряд.
• 1999 г. — Герард 'т Хоофт, Мартинус Велтман, за прояснение квантовой структуры электрослабых взаимодействий.
• 2000 г. — Жорес Иванович Алфёров, Герберт Крёмер, за разработку полупроводниковых гетероструктур, используемых в высокочастотных схемах и оптоэлектронике.
• 2003 г. — Алексей Алексеевич Абрикосов, Виталий Лазаревич Гинзбург, Энтони Леггетт, за пионерский вклад в теорию сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей.
• 2004 г. — Дэвид Гросс, Дэвид Политцер, Фрэнк Вильчек, за открытие асимптотической свободы в теории сильного взаимодействия.
• 2008 г. — Йоитиро Намбу, за открытие механизма спонтанного нарушения симметрии в субатомной физике.
• 2008 г. — Макото Кобаяси, Тосихидэ Маскава, за открытие источника нарушения симметрии, которое позволило предсказать существование в природе по меньшей мере трёх поколений кварков.
• 2013 г. — Франсуа Энглер, Питер Хиггс, за теоретическое обнаружение механизма, который помогает нам понять происхождение массы субатомных частиц, подтверждённого в последнее время обнаружением предсказанной элементарной частицы в экспериментах ATLAS и CMS на Большом адронном коллайдере.
• 2015 г. — Такааки Кадзита, Артур Макдональд, за открытие нейтринных осцилляций, показывающее, что нейтрино имеют массу.
• 2016 г. — Дэйвид Таулесс, Данкан Холдейн, Джон Костерлиц, за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз вещества.
• 2021 г. — Джорджо Паризи, за открытие взаимодействия беспорядка и колебаний в физических системах от атомного до планетарного масштабов.

Интересные факты

• В словосочетании «теория возмущений» в контексте КТП возмущения указывают вовсе не на возбуждения поля, а на наличие взаимодействия (в сравнении со «свободными» полями), и в качестве параметра возмущения выступает константа взаимодействия.
• Для коллективных работ в области оснований КТП российские учёные создали псевдоним: Джет Неструев.

Примечания

Литература

• П. А. М. Дирак Воспоминания о необычайной эпохе: Сборник статей. — М.: Наука, 1990.