Длина волны

Файл:Sine wavelength.svg

График волны функции (например, физической величины) y, распространяющейся вдоль оси Оx, построенный в фиксированный момент времени (t = const). Длина волны λ может быть измерена как расстояние между парой соседних максимумов y (x) либо минимумов, либо как удвоенное расстояние между соседними точками, в которых y = 0

Длина́ волны́ — фундаментальная характеристика волновых процессов, определяемая как расстояние, на которое распространяется волна вдоль линии распространения за время, равное периоду колебания. Длина волны, традиционно обозначаемая греческой буквой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} и выражаемая в метрах, является ключевым параметром волны наряду с частотой, амплитудой, начальной фазой, вектором распространения и поляризацией.

Концепция длины волны преимущественно применяется к гармоническим или квазигармоническим (например, затухающим или модулированным с узкой полосой) колебательным процессам в средах с однородными или близкими к однородным свойствами. Тем не менее, это понятие можно экстраполировать и на негармонические, но периодические волновые процессы, содержащие спектр гармоник (элементарных составляющих сложного гармонического колебания). В таком случае длина волны будет соответствовать длине волны основной (наиболее низкочастотной) гармоники в спектральном составе.

Длина волны — пространственный период волнового процесса

Волновое явление представляет собой динамический колебательный процесс, эволюционирующий как в пространстве, так и во времени. В результате этого, физическая величина, характеризующая волну, выражается через специфическую пространственно-временную функцию, зависящую от координат и времени. Волновой процесс может обладать периодичностью, в частности, проявляя гармонический характер.

Проводя аналогию с временным периодом колебаний Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} [с] (интервалом, за который циклический процесс совершает полный оборот) длину волны Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} [м] можно интерпретировать как пространственную периодичность волнового феномена.

Важно отметить соответствие между круговой частотой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = 2\pi f = 2\pi/T} [радиан/с], отражающей скорость изменения фазы колебания в фиксированной точке (или совокупности точек для твёрдого тела), и волновым числом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = 2\pi/\lambda} [радиан/м], именуемым также «пространственной круговой частотой». Последнее характеризует градиент фазы колебательного процесса между двумя пространственными точками, отстоящими друг от друга на 1 м вдоль направления распространения волны.

Закономерно, что разность фаз колебательного процесса в двух точках, разделённых дистанцией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} [м] в направлении распространения волны, составляет в угловых единицах ровно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\pi} радиан, что соответствует полному циклу колебания.

Универсальные соотношения между длиной волны и частотой

Файл:Длина волны.webm

Видеоурок: длина волны

Взаимосвязь между длиной волны, фазовой скоростью Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} и частотой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} можно вывести, исходя из фундаментального определения волнового процесса. Длина волны эквивалентна пространственной периодичности волнового явления, то есть дистанции, преодолеваемой точкой с неизменной фазой за временной интервал, равный периоду Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} колебательного процесса. Следовательно, мы можем сформулировать следующее математическое выражение:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = vT = \frac{v}{f} = \frac{2\pi v}{\omega}.}

Эта формула демонстрирует универсальный характер и применима к волновым процессам различной природы, включая акустические, электромагнитные и иные типы волн. Она устанавливает прямую пропорциональность между длиной волны и фазовой скоростью, а также обратную пропорциональность между длиной волны и частотой (или угловой частотой) колебаний.

Данное соотношение играет ключевую роль в понимании и анализе волновых явлений, позволяя связать пространственные и временные характеристики волнового процесса в единую математическую модель.

Случай электромагнитной волны

В вакууме

Для электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме, скорость Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} в вышеупомянутой формуле эквивалентна скорости света (299 792 458 м/с). Следовательно, длина такой волны вычисляется по формуле:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \frac{299\,792\,458~\text{m/s}}{f}}

Где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} — частота в герцах, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} — длина волны в метрах.

Для приблизительных расчётов длины электромагнитной волны в свободном пространстве можно использовать упрощённый метод: разделить 300 000 км/с на частоту в килогерцах. Погрешность такого расчёта составляет около 0,07%.

Файл:Wavelength & refractive index.JPG

В оптически более плотной среде (слой выделен тёмным цветом) длина электромагнитной волны сокращается. Синяя линия — распределение мгновенного (t = const) значения напряжённости поля волны вдоль направления распространения. Изменение амплитуды напряжённости поля, обусловленное отражением от границ раздела и интерференцией падающей и отражённых волн, на рисунке условно не показано.

Альтернативный подход заключается в запоминании удобной пары «частота-длина волны», например, 100 МГц соответствует 3 м. Используя это соотношение, можно определить длину волны для других частот. К примеру, 1 МГц (в 100 раз ниже 100 МГц) соответствует длине волны 300 м.

Рассмотрим некоторые характерные частоты и соответствующие им длины волн:

• 50 Гц (промышленная частота электросети) — 6000 км;
• 100 МГц (FM-радиовещание) — 3 м;
• 900 МГц и 1800 МГц (мобильная связь) — 33,3 см и 16,7 см соответственно;
• 2,4 ГГц (Wi-Fi) — 12,5 см;
• 10 ГГц (бортовые РЛС современных истребителей) — 3 см.

Область видимого света охватывает электромагнитное излучение с длинами волн от 380 до 780 нм.

Классификация радиоволн основывается на их длине:

• декаметровые (короткие) волны: 10-100 м;
• метровые волны: 1-10 м;
• дециметровые волны: 0,1-1,0 м.

Длина волны существенно влияет на характеристики распространения радиоволн, включая дифракцию, отражение от объектов, дальность связи и радиолокации.

Размеры антенн обычно сопоставимы с рабочей длиной волны или превышают её, особенно для направленных антенн. Однако антенна средневолнового диапазона, несмотря на значительно меньшие габариты по сравнению с длиной волны, сохраняет способность к пространственной селекции сигналов.

В веществе

При распространении электромагнитной волны в материальной среде её длина определяется формулой:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \frac{c}{n f},}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=\sqrt{\varepsilon\mu} } — коэффициент преломления вещества, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu } — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно. Важно отметить, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu } могут значительно варьироваться в зависимости от частоты Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} (явление дисперсии).

Следовательно, при расчётах необходимо использовать значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu } , соответствующие рассматриваемой частоте, а не их статические величины.

В большинстве случаев Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n > 1} (за исключением крайне высоких частот в рентгеновском диапазоне), что приводит к Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n > 1} . Как следствие, длина волны в веществе обычно меньше, чем в вакууме при той же частоте.

В радиочастотном диапазоне для многих сред Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu\approx1} (практически равно единице для диэлектриков, стремится к единице с увеличением частоты для ферромагнетиков). Поэтому в инженерной практике часто применяют величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1/\sqrt{\varepsilon}<1} , именуемую коэффициентом укорочения. Она представляет собой отношение длины волны в среде к длине волны в вакууме. Например, для полиэтилена, широко используемого в радиотехнике как изолятор с низкими потерями, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon} = 2,56, что даёт коэффициент укорочения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1/\sqrt{\varepsilon}} ≈ 0,625.

Особый интерес представляют волноводы, где длина электромагнитной волны (как поперечномагнитной, так и поперечноэлектрической) может превышать не только длину волны в среде с аналогичным Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon} , но даже длину волны в вакууме. Это обусловлено тем, что фазовая скорость электромагнитной волны в волноводе может быть выше, чем скорость распространения волны в среде с тем же значением Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon} .

Случай акустической (упругой) волны

В области акустики фундаментальная взаимосвязь между длиной волны и частотой сохраняет свою значимость, однако требует уточнения: в данном контексте Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} интерпретируется как скорость распространения звука в конкретной среде, будь то газообразная (например, воздух) или твёрдая.

Для иллюстрации рассмотрим зависимость длины звуковой волны в воздушной среде от частоты:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \frac{332 + 0.6\Theta}{f} } .

В этой формуле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Theta} обозначает температуру по шкале Цельсия, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} представляет частоту в герцах, а результирующая длина волны Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} выражается в метрах. Данное соотношение учитывает влияние температуры на скорость распространения звука в воздухе.

Важно отметить существенное различие между акустическими и электромагнитными волнами: в то время как последние способны распространяться в вакууме, звуковые колебания требуют наличия материальной среды и, следовательно, не могут существовать в безвоздушном пространстве.

Случай квантовомеханической волны де Бройля

В рамках квантовой механики концепция волн де Бройля устанавливает волновые характеристики для материальных частиц. Эта теория связывает корпускулярные и волновые свойства материи, приписывая каждой частице определённую длину волны.

Для частицы, обладающей энергией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} и импульсом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} , волны де Бройля характеризуются следующими параметрами:

• Частота колебаний Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (f)} выражается отношением энергии частицы к постоянной Планка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (h)} : Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f = \frac{E}{h}} ,
• Длина волны Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\lambda)} определяется как отношение постоянной Планка к импульсу частицы: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \frac{h}{p}} .

Эти соотношения демонстрируют дуалистическую природу материи, объединяя волновые и корпускулярные аспекты в единую квантово–механическую картину мира.

Литература

• Волны де Бройля / В. И. Григорьев // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1971. — Т. 5 : Вешин — Газли. — 640 с.

Длина волны // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — Т. 8 : Дебитор — Евкалипт. — 592 с.

Примечания

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Длина волны», расположенная по следующим адресам: — https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Длина_волны — «https://znanierussia.ru/articles/Длина_волны» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».