Неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1

Неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1

Неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1 — неравенство для натуральных чисел, гласящее, что сумма обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1, больше трёх пятых.

Обозначения

n – число натуральных чисел, n>2;

i – натуральное число;

${\frac {1}{n+i}}$ – обратное i-ое натуральное число.

Формула неравенства

${\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\ldots +{\frac {1}{2n}}>{\frac {3}{5}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{n+i}}>{\frac {3}{5}}$

Доказательство

Метод математической индукции для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
9. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
10. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
11. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
12. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
13. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
14. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
15. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
16. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
17. неравенство трёх квадратов;
18. неравенство трёх кубов;
19. неравенство трёх попарных отношений;
20. неравенство факториала нечётного числа;
21. неравенство факториала чётного числа;
22. обобщённое неравенство Бернулли;
23. неравенство Маркова;
24. неравенство Чебышёва.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.35, 168 с.