Неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа

Неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётных чисел

Неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётных чисел — неравенство для натуральных чисел, гласящее, что произведение n-факториала и n первых нечётных чисел больше n в степени n.

Обозначения

n – число натуральных чисел, n>1;

n! – n-факториал числа – произведение n первых натуральных чисел;

(2n-1)!! – двойной факториал нечётного числа – произведение n первых нечётных чисел.

Формула неравенства

$n{\text{!·}}(2n-1){\text{!!}}>n^{n}\Leftrightarrow 1{\text{·}}2{\text{·}}\ldots {\text{·}}n{\text{·}}1{\text{·}}3{\text{·}}\ldots {\text{·}}(2n-1)>n^{n}\Leftrightarrow \prod \limits _{i=1}^{n}i\prod \limits _{i=1}^{n}(2i-1)>n^{n}$

Доказательство

Метод математической индукции для неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.93, 168 с.