Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва — неравенство, гласящее: вероятность того, что модуль отклонения случайной величины от её математического ожидания превысит некоторое положительное число, не более отношения дисперсии этой случайной величины к квадрату заданного числа.

Названо в честь российского математика П. Л. Чебышёва.

Обозначения

X — непрерывная случайная величина;

M(X) — математическое ожидание случайной величины X;

D(X) — дисперсия случайной величины X;

ε — положительное число большее, чем корень из D(X).

Y — положительная непрерывная случайная величина;

M(Y) — математическое ожидание случайной величины Y;

e — положительное число большее, чем M(Y).

Формула неравенства

$P(|X-M(X)|>\varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

$P(|X-M(X)|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

• Заметим, что вероятность равенства для непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства равнозначны.

Доказательство

Доказательство для НСВ

Доказательство неравенства Чебышёва для непрерывной случайной величины

• Неравенство Чебышёва применимо для дискретной случайной величины X в виде $P(|X-M(X)|>\varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$
• Доказательство неравенства Чебышёва для дискретной случайной величины аналогично доказательству для непрерывной случайной величины.

Доказательство для ДСВ

Доказательство неравенства Чебышёва для дискретной случайной величины

Следствие

$P(|X-M(X)|\leqslant \varepsilon )\geqslant 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

$P(|X-M(X)|<\varepsilon )\geqslant 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

Следствие неравенства Чебышёва применимо для дискретной случайной величины X только в виде:

$P(|X-M(X)|\leqslant \varepsilon )\geqslant 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

Примеры

Пример 1

Для случайной величины $X=m$ , имеющей биномиальное распределение с математическим ожиданием $M(X)=np$ и дисперсией $D(X)=npq$ неравенство Чебышёва принимает вид:

$P(|m-np|>\varepsilon )\leqslant {\frac {npq}{\varepsilon ^{2}}}$

Пример 2

Для случайной величины $X={\frac {m}{n}}$ − частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью

$M(X)=M\left({\frac {m}{n}}\right)=p$ , и имеющей дисперсию $D(X)={\frac {pq}{n}}$ неравенство Чебышёва принимает вид:

$P\left(\left|{\frac {m}{n}}-p\right|>\varepsilon \right)\leqslant {\frac {pq}{n\varepsilon ^{2}}}$

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2004, стр.225.