Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва — неравенство, гласящее: вероятность того, что модуль отклонения случайной величины от её математического ожидания превысит некоторое положительное число, не более отношения дисперсии этой случайной величины к квадрату заданного числа.

Названо в честь российского математика П. Л. Чебышёва.

Обозначения

X — непрерывная случайная величина;

M(X) — математическое ожидание случайной величины X;

D(X) — дисперсия случайной величины X;

ε — положительное число большее чем корень из D(X).

Y — положительная непрерывная случайная величина;

M(Y) — математическое ожидание случайной величины Y;

e — положительное число большее чем M(Y).

Формула неравенства

$P(|X-M(X)|>\varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

$P(|X-M(X)|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

• Заметим, что вероятность равенства для непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства равнозначны.

Следствие

$P(|X-M(X)|\leqslant \varepsilon )\geqslant 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

$P(|X-M(X)|<\varepsilon )\geqslant 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

Доказательство

$Y=\left(X-M(X)\right)^{2},\ e=\varepsilon ^{2}\Rightarrow _{\text{неравенство Маркова}}\Rightarrow P(Y>e)\leqslant {\frac {M(Y)}{e}},\ M(Y)=M\left((X-M(X))^{2}\right)=D(X)\Rightarrow$

$\Rightarrow P(|X-M(X)|>\varepsilon )=P(|X-M(X)|^{2}>\varepsilon ^{2})=P(Y>e)\leqslant {\frac {M(Y)}{e}}={\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}\Rightarrow P(|X-M(X)|>\varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

Примечания

Неравенство Чебышёва применимо для дискретной случайной величины X в виде:

$P(|X-M(X)|>\varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

Следствие неравенства Чебышёва применимо для дискретной случайной величины X в виде:

$P(|X-M(X)|\leqslant \varepsilon )\geqslant 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

Доказательство неравенства Чебышёва для дискретной случайной величины аналогично доказательству для непрерывной случайной величины.

Пример 1

Для случайной величины $X=m$, имеющей биномиальное распределение с математическим ожиданием $M(X)=np$ и дисперсией $D(X)=npq$ неравенство Чебышёва принимает вид:

$P(|m-np|>\varepsilon )\leqslant {\frac {npq}{\varepsilon ^{2}}}$

Пример 2

Для случайной величины $X={\frac {m}{n}}$ − частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью $M(X)=M\left({\frac {m}{n}}\right)=p$, и имеющей дисперсию $D(X)={\frac {pq}{n}}$ неравенство Чебышёва принимает вид:

$P\left(\left|{\frac {m}{n}}-p\right|>\varepsilon \right)\leqslant {\frac {pq}{n\varepsilon ^{2}}}$

Другие неравенства:

• неравенство Коши;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Литература

• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2004, стр.225.