Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского — неравенство, гласящее, что сумма попарных произведений n действительных чисел с другими n действительными числами не больше произведения корней из сумм квадратов этих чисел.

Имеет геометрическую интерпретацию, что скалярное произведение двух векторов в n-мерном евклидовом пространстве не превышает (по модулю) произведения длин (модулей, норм) этих векторов.

Обозначения

$n$ – число чисел и размерность пространства;

$a_{i}$ – i-ое действительное число;

$b_{i}$ – i-ое действительное число;

${\overline {a}}=\{a_{i}\}$ – вектор;

${\overline {b}}=\{b_{i}\}$ – вектор.

Формула неравенства

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\leqslant {\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}}\cdot {\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leqslant {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}$

Доказательство

Метод математической индукции для неравенства Коши-Буняковского.

Следствия

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}\leqslant (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})\Leftrightarrow \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leqslant \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

$-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})\leqslant {\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}}\cdot {\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}}}\Leftrightarrow -\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leqslant {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}$

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.

Ссылки

• Участник:Logic-samara