Неравенство Коши-Буняковского

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Коши-Буняковского — теорема, гласящая, что сумма попарных произведений n действительных чисел с другими n действительными числами не больше произведения корней из сумм квадратов этих чисел. Имеет геометрическую интерпретацию, что скалярное произведение двух векторов в n-мерном евклидовом пространстве не превышает (по модулю) произведения длин этих векторов.

Содержание

[править] Формула неравенства

Введём обозначения:

n — число чисел;

ai — i-ое число;

bi — i-ое число.

[math]a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \leqslant \sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2}[/math]
[math]\Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i \leqslant \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2}[/math]
  • Если множества чисел {ai} и {bi} считать векторами n-мерного пространства, то неравенство Коши-Буняковского означает, что скалярное произведение векторов не более произведения их длин (модулей, норм).

[править] Следствие

[math](a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2 \leqslant (a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2) \cdot (b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)[/math]
[math]\Leftrightarrow\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2 \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2 \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2[/math]

[править] Другие неравенства

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты