Неравенство Фань Цзы

Неравенство Фань Цзы — неравенство для действительных чисел, гласящее, что отношение произведения n положительных дробей, не превышающих 0,5, к n-степени их суммы не больше аналогичного отношения для дополнений этих дробей до единицы.

Обозначения

n — число дробей;

$a_{i}$ — i-ая положительная дробь от 0 до 0,5;

$1-a_{i}$ — это дополнение $a_{i}$ до 1 — положительная дробь от 0,5 до 1.

Формула неравенства

${\frac {a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}{\left(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\right)^{n}}}\leq {\frac {\left(1-a_{1}\right)\cdot \left(1-a_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-a_{n}\right)}{\left[\left(1-a_{1}\right)+\left(1-a_{2}\right)+\ldots +\left(1-a_{n}\right)\right]^{n}}}\Leftrightarrow {\frac {\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{n}}}\leq {\frac {\prod \limits _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\right)}{\left[\sum \limits _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\right)\right]^{n}}}$

• Равенство имеет место только в том случае, когда все a _i равны между собой.

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=2n.

т.е. неравенство верно при k=2n.

3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.

т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.

Следствие

Сумма обратных отношений двух положительных дробей, не превышающих 0,5, не меньше суммы обратных отношений для дополнений этих дробей до единицы.

${\frac {a_{1}}{a_{2}}}+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\geq {\frac {1-a_{1}}{1-a_{2}}}+{\frac {1-a_{2}}{1-a_{1}}}$

Доказательство следствия

Другие неравенства:

• неравенство Коши;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Ссылки

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.15.
• Участник:Logic-samara