Неравенство Гёльдера

Неравенство Гёльдера

Неравенство Гёльдера — неравенство, гласящее, что модуль суммы произведений пар из двух наборов чисел не больше произведения 1/p-степени суммы p-степеней модулей первых элементов пар и (p − 1)/p-степени суммы p/(1 − p)-степеней модулей вторых элементов пар.

Обозначения

n — число чисел в наборах;

p — число больше 1;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i}  — i-ое число;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_i}  — i-ое число.

Формула неравенства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |a_1b_1 + \ldots + a_nb_n| \le \left(|a_1|^p + \ldots + |a_n|^p \right)^{ \frac{1}{p}} \cdot \left(|b_1|^{\frac{p}{p - 1}} + \ldots + |b_n|^{ \frac{p}{p - 1}} \right)^{ \frac{p - 1}{p}} \Leftrightarrow \left| \sum \limits_{i=1}^n a_ib_i \right| \le \left( \sum \limits_{i = 1}^n|a_i|^p \right)^{ \frac{1}{p}} \cdot \left( \sum \limits_{i = 1}^n |b_i|^{ \frac{p}{p - 1}} \right)^{ \frac{p - 1}{p}}}

• Заметим, что при p = 2 получаем неравенство Коши-Буняковского.

Следствие

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |a_1b_1 + \ldots + a_nb_n|^p \le \left(|a_1|^p + \ldots + |a_n|^p \right)^{ \frac{1}{p}} \cdot \left(|b_1|^{ \frac{p}{p - 1}} + \ldots + |b_n|^{ \frac{p}{p - 1}}\right)^{p - 1} \Leftrightarrow \left| \sum \limits_{i = 1}^n a_ib_i \right|^p \le \sum \limits_{i = 1}^n |a_i|^p \cdot \left( \sum \limits_{i = 1}^n |b_i|^{ \frac{p}{p - 1}} \right)^{p - 1}}

См. также

• Неравенство Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.