Неравенство Гёльдера

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Модуль суммы произведений пар из двух наборов чисел не больше произведения 1/p-степени суммы p-степеней модулей первых элементов пар и (p − 1)/p-степени суммы p/(1 − p)-степеней модулей вторых элементов пар.

Содержание

[править] Формула неравенства

Введём обозначения:

n — число чисел в наборах;

p — число больше 1;

ai — i-ое число;

bi — i-ое число.

[math]|a_1b_1+\ldots+a_nb_n| \le \left(|a_1|^p+\ldots+|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(|b_1|^{\frac{p}{p-1}}+\ldots+|b_n|^{\frac{p}{p-1}}\right)^{\frac{p-1}{p}}[/math]
[math]\Leftrightarrow \left|\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\right| \le \left(\sum\limits_{i=1}^n |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left(\sum\limits_{i=1}^n |b_i|^{\frac{p}{p-1}}\right)^{\frac{p-1}{p}}[/math]

Заметим, что при p = 2 получаем неравенство Коши-Буняковского.

[править] Следствие

[math]|a_1b_1+\ldots+a_nb_n|^p \le \left(|a_1|^p+\ldots+|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(|b_1|^{\frac{p}{p-1}}+\ldots+|b_n|^{\frac{p}{p-1}}\right)^{p-1}[/math]
[math]\Leftrightarrow \left|\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\right|^p \le \sum\limits_{i=1}^n |a_i|^p \cdot \left(\sum\limits_{i=1}^n |b_i|^{\frac{p}{p-1}}\right)^{p-1}[/math]

[править] Другие неравенства

[править] См. также

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты