Неравенство Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм

Пусть заданы числа (вообще говоря комплексные) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1,\ldots ,x_n, y_1,\ldots,y_n} и (положительные) действительные числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 < p < +\infty, } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q} , определяемое равенством Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {1\over p} + {1\over q}=1.} Тогда справедливы неравенства:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^{n}_{i=1} \mid x_i y_i \mid \leq \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid y_i\mid}^q \right)^{1/q}}

(Неравенство Гёльдера) и

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i + y_i \mid}^p\right)^{1/p} \leq \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p} + \left( \sum^{n}_{i=1} \ {\mid y_i\mid}^p \right)^{1/p}}

(Неравенство Минковского).

Их доказательство проводится по той же схеме, что и в случае соответствующих интегральных неравенств Гёльдера и Минковского.

Введём для краткости обозначения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lVert x\rVert_{p} =^{\!\!\!\!\!\!def} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p},\ \ \lVert y\rVert_{q} =^{\!\!\!\!\!\!def} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid y_i\mid}^q \right)^{1/q}\ \ (*)}

Применив неравенство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ab \leq {a^p\over p} + {b^q\over q}, \ \ a\geq 0,\ \ b\geq 0 } к

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a= {\mid x_i\mid\over \lVert x\rVert_p},\ \ b= {\mid y_i\mid\over \lVert y\rVert_q},\ \ i=1,2,\ldots , n,\ \text{имеем} {\mid x_i\mid\over \lVert x\rVert_p} \ {\mid y_i\mid\over \lVert y\rVert_q} \leq {1\over p} {\mid x_i\mid^p\over \lVert x\rVert^p_p} + {1\over q} {\mid y_i\mid^q\over \lVert y\rVert^q_q}.}

Просуммировав эти неравенства по i от 1 до n в силу (*) и условия Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {1\over p}+{1\over q}=1} получим

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {1\over \lVert x\rVert_p \lVert y\rVert_q} \sum^n_{i=1} \mid x_i y_i\mid \leq {1\over p\lVert x\rVert^p_p} \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid^p + {1\over q\lVert y\rVert^q_q} \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid^q \ =\ {1\over p}+{1\over q} =1,}

откуда

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^n_{i=1} \mid x_i y_i \mid \leq \lVert x \rVert_p \lVert y\rVert_q ;}

тем самым неравенство Гёльдера доказано.

Неравенство Минковского следует из неравенства Гёльдера из очевидного соотношения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^n_{i=1} \mid x_i+y_i\mid^p \leq \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid \mid x_i + y_i \mid^{p-1}\ +\ \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid \mid x_i +y_i \mid^{p-1} ,}

применив к каждому слагаемому в правой части неравенство Гёльдера, получим

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^n_{i=1} \mid x_i+ y_i \mid ^p \leq \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid^p \right)^{1/p} \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^{q(p-1)} \right)^{1/q} \ + \ \left( \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid^p \right )^{1/p}\ \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^{q(p-1)} \right)^{1/q}.}

Если левая часть неравенства равна нулю, то неравенство Минковского, очевидно, справедливо; если же она не равна нулю, то, сокращая обе части неравенства на множитель Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^p \right)^{1/q}} и заметив, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {1\over p} + {1\over q} = 1, \ q(p-1)=p,} получим неравенство Минковского.

Для любых двух рядов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^\infty_{n=1}\ x_n , \sum^\infty_{n=1}\ y_n} справедливы аналогичные неравенства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \mid x_n y_n \mid \leq \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p \right)^{1/p} \left( \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^q \right)^{1/q} \ \ \ (1)\ ,}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n + y_n \mid^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p \right)^{1/p} + \left( \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^p \right)^{1/p}\ \ \ (2)\ .}

Действительно, для всех частичных сумм одного и того же порядка заданных рядов справедливы неравенства Гёльдера и Минковского. Переходя в них к пределу при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \rightarrow\infty,} мы и получим неравенства (1) и (2).

Из доказанных неравенств следует, в частности, что если ряды Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p ,\ \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^q } сходятся, то ряд Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \mid x_n y_n \mid} сходится, а если сходятся ряды Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p, \ \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^p,} то сходится ряд Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \mid x_n + y_n \mid^p .}

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

См. также

• Герман Минковский