Неравенство Коши

Неравенство Коши

#167. НЕРАВЕНСТВО КОШИ О СРЕДНИХ // Wild Mathing [6:30]

Неравенство Коши (неравенство о средних) — неравенство для положительных чисел, гласящее, что среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Обозначения

$n$ — число чисел;

$a_{i}$ — i-ое положительное число;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_i}  — это число, равное $\ln {a_{i}}$

Формула неравенства

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}}$

• Равенство имеет место только в том случае, когда все Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i} равны между собой.

Доказательство 1

Метод математической индукции для неравенства Коши

Доказательство 2

Метод математической индукции Якобсталя для неравенства Коши

Доказательство 3

Метод Штурма для неравенства Коши

Доказательство 4

Доказательство неравенством Йенсена неравенства Коши

Доказательство 5

Доказательство неравенством средневзвешенных неравенства Коши

Доказательство 6

Доказательство Бора неравенства Коши

Следствия

${\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\Leftrightarrow n\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}\right)^{-1}\leq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}}$

$\ln {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln a_{1}+\ln a_{2}+\ldots +\ln a_{n}}{n}}\Leftrightarrow \ln \left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}$

$\ln {\frac {e^{b_{1}}+e^{b_{2}}+\ldots +e^{b_{n}}}{n}}\geq {\frac {b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}{n}}\Leftrightarrow \ln \left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}e^{b_{i}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}$

${\frac {e^{b_{1}}+e^{b_{2}}+\ldots +e^{b_{n}}}{n}}\geq e^{\frac {b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}{n}}\Leftrightarrow \left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}e^{b_{i}}\right)\geq e^{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}}$

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр.158.
• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.