Неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой

Неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой

Неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой — неравенство для положительных дробей с суммой 1, гласящее, что сумма квадратов дробей не меньше 1/n.

Обозначения

n – число дробей, n>1;

x_i – i-ая положительная дробь, 0<x_i<1;

x₁+ x₁+…+ x_n – сумма дробей равна 1;

x_i² – это квадрат i-ой дроби.

Формула неравенства

Определения

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1 + b_1 = a_2 + b_2 } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |a_1 - b_1| > |a_2 - b_2|} , то переход от пары Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a_1, b_1)} к паре Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a_2, b_2)} называется сдвиганием чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1, b_1} с сохранением суммы.

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1 + b_1 = a_2 + b_2 } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |a_1 - b_1| < |a_2 - b_2|} , то переход от пары Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a_1, b_1)} к паре Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a_2, b_2)} называется раздвиганием чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1, b_1} с сохранением суммы.

Доказательство

Метод Штурма для неравенства суммы квадратов дробей

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.140-141, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara