Обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей

Обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей

Обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей — неравенство, гласящее, что произведение суммы взвешенных попарных произведений для одномонотонных последовательностей и суммы весов не меньше произведения взвешенных сумм этих последовательностей.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n }  — число элементов последовательности, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n > 1 } ;

$a_{i}$ — $i$-ое число первой последовательности;

$b_{i}$ — $i$-ое число второй последовательности;

$w_{i}$ — $i$-ый вес элементов последовательности, $w_{i}>0$;

$w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}$ — сумма весов.

Определения

Две конечные последовательности действительных чисел $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ и $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ одномонотонны, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall i,j\in N_n,a_i>a_j\Rightarrow b_i\ge b_j} .

Две конечные последовательности действительных чисел $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ и $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ разномонотонны, если $\forall i,j\in N_{n},a_{i}>a_{j}\Rightarrow b_{i}\leq b_{j}$ .

Формула неравенства

$(w_{1}a_{1}b_{1}+w_{2}a_{2}b_{2}+\ldots +w_{n}a_{n}b_{n})(w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n})\geq (w_{1}a_{1}+w_{2}a_{2}+\ldots +w_{n}a_{n})(w_{1}b_{1}+w_{2}b_{2}+\ldots +w_{n}b_{n})\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}a_{i}b_{i}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\geq \sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}a_{i}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}b_{i}$

• При $w_{i}=1\ \forall i\in N_{n}$ и делении неравенства на $n^{2}$ обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей становится неравенством Чебышёва для одномонотонных последовательностей.
• При Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w_1+w_2+\ldots+w_n=1} обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей становится весовым неравенством Чебышёва для одномонотонных последовательностей.

Доказательство

Метод математической индукции для обобщённого неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей.

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.55-57, 168 с.