N-мерная евклидова геометрия

N-мерная евклидова геометрия — обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N-мерная геометрия широко применяется в качестве математического инструмента при решении различного рода задач, связанных с манипулированием большим числом параметров (например, задачи оптимизации с большим числом переменных, задачи геометрической вероятности).

Система координат

Поскольку достаточно трудно работать с многомерными объектами, используя интуитивные представления трёхмерного мира, в N-мерной геометрии широко применяются аналитические методы. В качестве системы координат чаще всего используется прямоугольная декартова система с числом осей более трёх. Таким образом, некоторая точка А представляется в N-мерной геометрии как набор из N действительных чисел

$A=\left(x_{1A},x_{2A},x_{3A},~...~x_{NA}\right).$

Несмотря на то, что интуитивно трудно представить себе четыре взаимно перпендикулярные оси, понятие перпендикулярности естественным образом обобщается из трёхмерного пространства на случай четырёх и более измерений. Так, скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов в случае N измерений также равно нулю.

Расстояния и теорема Пифагора

Теорема Пифагора в планиметрии определяет соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Поскольку оси координат в декартовой системе перпендикулярны, то расстояние между двумя точками А и В в двумерном пространстве можно вычислить как длину гипотенузы прямоугольного треугольника, длина катетов которого равна разности координат точек по каждой из осей:

$R_{AB}^{2}=\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}=\Delta x_{AB}^{2}+\Delta y_{AB}^{2}$

В трёхмерном пространстве для прямоугольного тетраэдра существует аналогичное теореме Пифагора простое соотношение между гранями, описываемое теоремой де Гуа. Формула для расстояния между двумя точками также остаётся в силе:

$R_{AB}^{2}=\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}=\Delta x_{AB}^{2}+\Delta y_{AB}^{2}+\Delta z_{AB}^{2}$

Аналогичная формула справедлива и для большего числа измерений. В N-мерном пространстве расстояние между двумя точками

$A=\left(x_{1A},x_{2A},x_{3A},~...~x_{NA}\right);$

$B=\left(x_{1B},x_{2B},x_{3B},~...~x_{NB}\right)$

можно найти по формуле:

$R_{AB}^{2}=\sum _{i=1}^{N}\left(x_{iB}-x_{iA}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{N}\Delta x_{iAB}^{2}.$

Евклидово пространство однородно и изотропно, то есть его свойства, в том числе и формула для расстояния, не зависят ни от положения начала координат, ни от направления осей координат. Это даёт возможность свободно вращать и переносить объекты, не изменяя их геометрических свойств.

Гиперплоскости и подпространства

В N-мерном пространстве существуют подпространства всех размерностей $k<N$, часто называемые гиперплоскостями или k-плоскостями, где k — размерность подпространства. Термин «гиперплоскость» используется также в узком смысле для обозначения подпространства размерности N–1 (коразмерности 1). Одномерное подпространство по аналогии с обычной геометрией называется прямой, двумерное подпространство — плоскостью. Никакого принципиального различия между k-плоскостью и k-пространством нет. Название «плоскость» подчёркивает тот факт, что объект находится внутри пространства большей размерности, то есть является подпространством. Например, в 4-пространстве обычное трёхмерное пространство является 3-плоскостью.

Аналитическое описание гиперплоскости

Из аналитической геометрии известно, что прямая в 2-пространстве и плоскость в 3-пространстве задаются одним линейным уравнением, а прямая в 3-пространстве — системой двух линейных уравнений. Можно показать, что в пространстве размерности N имеет место аналогичная ситуация — подпространство размерности k задаётся системой N–k линейных уравнений:

$~{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1N}x_{N}+b_{1}=0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2N}x_{N}+b_{2}=0\\...\\a_{N-k,1}x_{1}+a_{N-k,2}x_{2}+...+a_{N-k,N}x_{N}+b_{N-k}=0\end{cases}}$

Широко применяется также задание подпространств в виде аффинных комбинаций. Так, прямая, проходящая через точки А и В представляет собой множество точек Т с координатами

$~T_{\lambda }=A\lambda +B(1-\lambda ),$

где λ — действительное число, которое задаёт на прямой естественную параметризацию. Если потребовать выполнения дополнительного условия λ>0, то множество точек превращается в отрезок с конечными точками А и В. Прямая сама по себе является одномерным евкливдовым пространством, определяется двумя лежащими на ней точками и совпадает со своей единственной координатной осью.

Аналогично, плоскость, проходящая через точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, описывается как множество точек

$~T_{\lambda ,\mu }=A\lambda +B\mu +C(1-\lambda -\mu )$

или

$~T_{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}=A\lambda _{1}+B\lambda _{2}+C\lambda _{3};\qquad \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1,$

где λ, μ, λ₁, λ₂, λ₃ — действительные числа.

Плоскость является 2-пространством, определяется тремя не лежащими в одной прямой точками или двумя пересекающимися прямыми.

Аксиомы и теоремы, касающиеся прохождения гиперплоскостей через точки, прямые и гиперплоскости, приведены в следующей таблице.

Прохождение гиперплоскостей через гиперплоскости меньшей размерности

Аксиомы/теоремы N-мерной геометрии	Аналогичные аксиомы/теоремы планиметрии и стереометрии
Через k+1 точек, не лежащих в одной (k–1)-плоскости проходит единственная k-плоскость.	Через 2 несовпадающие точки проходит единственная прямая. Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Через k прямых, пересекающихся в одной точке и не лежащих в одной (k–1)-плоскости, проходит единственная k-плоскость.	Через 2 пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
Через гиперплоскости, имеющие в сумме размерность k, пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной (k–1)-плоскости, проходит единственная k-плоскость.
Через две гиперплоскости размерности p и q, перечесением которых является m-плоскость, проходит единственная гиперплоскость размерности p+q–m
Через (k–1)-плоскость и параллельную ей m-плоскость (0 ≤ m < k) проходит единственная k-плоскость.	Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость

Если k-плоскость проходит через точки A₁, A₂, … A_k, A_k+1, то она является множеством точек, определяемым соотношениями

$~T_{\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{k+1}}=\sum _{i=1}^{k+1}A_{i}\lambda _{i};\qquad \sum _{i=1}^{k+1}\lambda _{i}=1.$

Пересечение гиперплоскостей

В планиметрии и стереометрии пересечение подпространств различной размерности исчерпываются тремя основными случаями:

• Две прямые пересекаются в одной точке либо совпадают;
• Прямая пересекает плоскость в одной точке либо принадлежит ей;
• Две плоскости пересекаются по прямой либо совпадают.

В пространствах высших размерностей случаи пересечения подпространств гораздо более разнообразны. Рассмотрим две гиперплоскости размерности k и m (k>m). Пусть они заданы системами линейных уравнений с N–k и N–m уравнениями соответственно. Подпространство, являющееся пересечением этих гиперплоскостей, описывается системой 2N–k–m уравнений, куда входят уравнения обоих исходных систем:

$~{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1N}x_{N}+b_{1}=0\\...\\a_{N-k,1}x_{1}+a_{N-k,2}x_{2}+...+a_{N-k,N}x_{N}+b_{N-k}=0\\c_{11}x_{1}+c_{12}x_{2}+...+c_{1N}x_{N}+d_{1}=0\\...\\c_{N-m,1}x_{1}+c_{N-m,2}x_{2}+...+c_{N-m,N}x_{N}+d_{N-m}=0\end{cases}}$

Из теории систем линейных уравнений следует, что возможны два принципиально различных случая:

• $~k+m>N$

В этом случае система уравнений неполна и имеет бесконечное множество решений. Если все уравнения системы линейно независимы, пространство решений имеет размерность k+m–N, то есть пересечением двух гиперплоскостей будет (k+m–N)-плоскость. Если в системе есть линейно зависимые уравнения, размерность пересечения будет больше, причём верхним пределом этой размерности будет меньшая из размерностей пересекающихся гиперплоскостей (когда одна из пересекающихся гиперплоскостей принадлежит другой).

• $~k+m\leqslant N.$

В этом случае количество уравнений в системе больше, чем число переменных, следовательно, для пересечения гиперплоскостей как минимум N–k–m уравнений должны быть линейно зависимы. В случае, если число линейно независимых уравнений равно N, решение единственно, и гиперплоскости пересекаются в одной точке. Если число линейно независимых уравнений меньше N, решением системы является подпространство, максимальная размерность которого равна меньшей из размерностей пересекающихся гиперплоскостей (когда одна из пересекающихся гиперплоскостей принадлежит другой).

Таким образом, пересечением двух гиперплоскостей размерности k и m будет гиперплоскость размерности p, причём p лежит в пределах от p_min до p_max:

$~p_{min}=\max(0,k+m-N);\quad p_{max}=\min(k,m).$

Из последних соотношений следуют некоторые необычные свойства пересечений в пространствах высшей размерности. Например, пересечением двух обычных плоскостей в 4-пространстве могут быть точка, прямая и плоскость:

$~N=4;\quad k=2;\quad m=2\quad \Rightarrow \quad p_{min}=0;\quad p_{max}=2.$

Необходимо отметить также, что в многомерных пространствах плоскости могут перекрещиваться, то есть не пересекаться, но одновременно не быть параллельными. В трёхмерном пространстве перекрещиваться могут только прямые. В общем случае N-пространства две гиперплоскости размерности k и m могут перекрещиваться, если выполняется условие

$~k+m<N.$

Параллельность гиперплоскостей

В трёхмерном пространстве две различные плоскости или плоскость и прямая называются параллельными, если они не пересекаются. Аналогичное определение действует для двух прямых при условии, что они лежат в одной плоскости.

В N-пространстве эти правила требуют некоторого видоизменения, поскольку возможны различные варианты перекрещивания плоскостей, когда плоскости не пересекаются, но не параллельны. В общем случае определение параллельных плоскостей таково:

• в пространстве размерности N две плоскости размерности k и m (m ≤ k) параллельны, если они лежат в пространстве размерности k+1 и не пересекаются.

Например, прямая и плоскость параллельны, если они лежат в одном трёхмерном пространстве и не пересекаются. 3-плоскость параллельна 4-плоскости, если они лежат в одном пятимерном пространстве и не имеют общих точек.

Некоторая неочевидность этого определения говорит о том, что оно обходит стороной существенные черты параллельности. В действительности параллельными являются равноотстоящие гиперплоскости, то есть когда любая точка гиперплоскости меньшей размерности лежит на одном и том же расстоянии от гиперплоскости большей (или равной) размерности. Например, прямая параллельна плоскости, когда любая её точка находится от плоскости на одном и том же расстоянии. Обратное неверно, так как точки плоскости могут лежать на разном расстоянии от параллельной ей прямой.

Из евклидовой геометрии известен признак параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой.

В N-мерной геометрии признак параллельности гиперплоскостей выглядит так:

• k-мерная плоскость параллельна m-мерной (m ≤ k), если m пересекающихся в одной точке линейно независимых прямых одной плоскости соответственно параллельны m прямым другой плоскости.

Выражение «пересекающиеся в одной точке линейно независимые прямые» означает, что k пересекающихся прямых не лежат в (k–1)-плоскости. Например, три прямые не лежат в одной 2-плоскости, четыре прямые не лежат в трёхмерном пространстве.

Многогранники

 → N-мерные многогранники

В трёхмерном пространстве многогранником называется замкнутая оболочка, состоящая из двумерных многоугольников, называемых гранями. Так как каждая грань является подмножеством 2-плоскости, то выпуклый многогранник можно считать замкнутой областью, которая высечена из 3-пространства определённым образом расположенными плоскостями.

Элементами любого многогранника являются грани, рёбра и вершины. Грани — двумерные многоугольники, составляющие оболочку многогранника. Рёбра — отрезки, являющиеся границами граней и линиями пересечения двух граней. Вершины — крайние точки рёбер; точки, где смыкаются три или более граней.

Поскольку в N-многограннике могут быть грани других размерностей, для общности можно сказать, что вершина является 0-гранью, ребро — 1-гранью, обычная двумерная грань — 2-гранью, грань размерности K — K-гранью, а сам многогранник — своей собственной единственной N-гранью.

Любая грань многогранника сама по себе является многогранником. Так, 2-грань является многоугольником, то есть 2-многогранником, ребро является отрезком, то есть 1-многогранником.

В случае N измерений N-мерным выпуклым многогранником называется внутреннаяя область, высекаемая из N-пространства некоторой совокупностью (N-1)-плоскостей. Оболочка многогранника состоит из (N-1)-граней, которые сами по себе являются (N-1)-многогранниками. Кроме того, в любом N-многограннике имеются грани размерности от 0 до N-1.

Эйлерова характеристика для N-мерного многогранника:

$\sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},$

где $A_{i}$ -количество i -мерных граней N-мерного многогранника.

Если же формально считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, то формулу можно записать в виде

$\sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.$

Площади и объёмы. Куб

Задача измерения объёма формулируется следующим образом.

Каждому многограннику требуется поставить в соответствие определённую положительную величину таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Единицей объёма является объём куба с единичным ребром.
2. Равные многогранники имеют равные объёмы.
3. Объём объединения двух многогранников, не имеющих общих внутренних точек, равен сумме их объёмов.

Как видно из определения, основой для измерения объёма является куб. Обобщим понятие куба на случай N измерений.

В трёхмерном пространстве куб легко получить при помощи простой процедуры: построим три координатные плоскостии из точки с координатами (0, 0, 0) проведём через точку (1, 1, 1) ещё три плоскости, параллельные координатным. Мы получим три пары параллельных плоскостей, отсекающих на координатных осях отрезки единичной длины. Область пространства, ограниченная этими плоскостями, будет 3-кубом. Гранями 3-куба являются шесть 2-кубов, именуемых квадратами. Объём 3-куба равен третьей степени длины его ребра.

Квадрат или 2-куб тоже имеет характеристику, аналогичную объёму 3-куба. Это площадь, которая равна второй степени длины ребра. Отрезок также имеет похожую по смыслу характеристику, которая называется длиной. В этом смысле не существует различия между длиной, площадью и объёмом. Длина является 1-объёмом, а площадь — 2-объёмом.

Аналогично, N-мерный куб образуется N парами параллельных (N-1)-плоскостей, то есть имеет 2N граней, каждая из которых является (N-1)-кубом. Объём куба равен

$~V_{N}=a^{N},$

где $~a$ — длина ребра. Площадь поверхности куба есть сумма объёмов его граней:

$~S_{N}=2Na^{N-1}.$

Четырёхмерный куб — тессеракт, пятимерный — пентеракт, шестимерный — хексеракт.

Призма

В трёхмерном пространстве призмой называются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, и соответственные вершины которых соединены рёбрами.

Аналогично, N-призмой называются два (N-1)-многогранника, которые лежат в двух параллельных (N-1)-плоскостях. Через все соответственные K-грани этих многогранников проведены (K+1)-плоскости (это возможно, так как соответственные грани параллельны, а через две параллельных K-плоскости всегда можно провести (K+1)-плоскость).

Исходные (N-1)-многогранники называются основаниями призмы, ограничивающие внутренний объём грани старшей размерности — боковыми гранями. Боковые грани сами по себе являются (N-1)-призмами.

Так же как в трёхмерном случае, объём N-призмы равен

$~V_{N}=SH,$

где S — площадь (объём) основания, H — высота, измеренная по перпендикуляру к основанию.

Частными случаями этого соотношения являются известные формулы площади параллелограмма

$~S=aH$

и объёма 3-призмы

$~V=SH.$

Пирамида

Объём пирамиды

В трёхмерном пространстве пирамида определяется как многогранник, одна из граней которого (основание) — произвольный многоугольник, а остальные (боковые грани) — треугольники с общей вершиной.

Пирамида обладает важным свойством — любое параллельное основанию сечение пирамиды подобно основанию. Такое сечение можно представить как проекцию основания, причём проектирующими лучами будут рёбра боковых граней. Коэффициент подобия равен отношения высоты к расстоянию от вершины до плоскости сечения.

N-пирамидой называется фигура, состоящая из произвольнго (N-1)-многогранника (основания) и ещё одной точки (вершины), не лежащей в (N-1)-плоскости этого многогранника и соединённой рёбрами со всеми его вершинами.

Можно сказать также, что внутренний объём пирамиды ограничен (N-1)-плоскостями, которые проведены через вершину пирамиды и каждую из (N-2)-граней его основания.

Боковые грани пирамиды также являются пирамидами размерности N-1. Самой простой пирамидой (2-пирамидой) является обыкновенный треугольник. Основанием его является отрезок, и отрезками же являются обе его боковые грани.

Найдём объём пирамиды. Предположим, что известна площадь основания S, то есть объём исходного (N-1)-многогранника. Так как любое сечение, параллельное основанию, подобно ему, то отношение площадей основания S и сечения s будут определеяться (N-1)-й степенью коэффициента подобия:

$s=S\left({\frac {x}{H}}\right)^{N-1}$

Объём пирамиды найдём интегрированием:

$V_{N}=\int _{0}^{H}dV;$

$dV=sdx=S\left({\frac {x}{H}}\right)^{N-1}dx;$

$V_{N}={\frac {S}{H^{N-1}}}\int _{0}^{H}x^{N-1}dx={\frac {S}{N\cdot H^{N-1}}}\left.x^{N}\right|_{0}^{H}={\frac {S}{N\cdot H^{N-1}}}H^{N}={\frac {SH}{N}}.$

Итак, объём N-пирамиды равен

$V_{N}={\tfrac {1}{N}}SH.$

Частными случаями этого соотношения являются известные формулы площади треугольника (треугольник является 2-пирамидой)

$S={\frac {1}{2}}aH$

и объёма 3-пирамиды

$V={\frac {1}{3}}SH.$

Сфера и шар

В N-пространстве остаётся в силе евклидово оп­ределение сферы: N-сферой называется множество всех точек про­странства, удаленных на некоторое расстояние R от точки, называемой центром сферы. Величина R называется радиусом сферы.

В геометрии сферой традиционно считают оболочку, в которую заключено некоторое внутреннее пространство, которое называется шаром. Однако в N-мерной геометрии очень часто не делают различия между шаром и сферой и объём шара называют объёмом сферы. Также имеется путаница с размерностью сферы. Часто N-сферой называют оболочку (N+1)-мерного шара. В данной статье N-сферой называется оболочка N-мерного шара.

Математическое выражение для сферы также традиционно:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{N-1}^{2}+x_{N}^{2}=R^{2}.$

Рассечём сферу плоскостью. Пусть для простоты это будет L-параллельная координатным осям x₁ … x_L. Уравнение этой плоскости будет иметь вид

$x_{L+1}=C_{L+1};\quad x_{L+2}=C_{L+2};\quad ...\quad x_{N}=C_{N},$

где C_L+1,... C_N — некоторые постоянные.

При решении системы получится новое уравнение вида

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{L}^{2}=R^{2}-C_{L+1}^{2}-C_{L+2}^{2}-...-C_{N}^{2}.$

Таким образом, при пересечении N-сферы с L-плоскостью получается L-сфера радиуса

$r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}},$

где h — расстояние от центра сферы до секущей плоскости:

$h={\sqrt {C_{L+1}^{2}+C_{L+2}^{2}+...+C_{N}^{2}}}.$

Объём N-сферы

Объём N-сферы радиуса R вычислим как N-кратный интеграл

$V_{N}(R)={\underset {\Omega }{\iint \cdots \int }}dx_{1}dx_{2}...dx_{N},$

где область интегрирования Ω ограничена поверхностью N-сферы радиуса R:

$\Omega :\quad x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{N}^{2}=R^{2}.$

Поскольку все сферы подобны друг другу, и коэффициент подобия равен отношению радиусов, то объём N-сферы радиуса R можно выразить через объём единичной сферы следующим соотношением:

$~V_{N}(R)=V_{N}(1)R^{N}.$

Таким образом, задача сводится к нахождению объёма единичной сферы:

$V_{N}(1)={\underset {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{N}^{2}=1}{\iint \cdots \int }}dx_{1}dx_{2}...dx_{N}.$

Преобразуем последний интеграл к виду

$V_{N}(1)=\int _{-1}^{1}dx_{1}{\underset {x_{2}^{2}+...+x_{N}^{2}=1-x_{1}^{2}}{\iint \cdots \int }}dx_{2}...dx_{N}.$

Очевидно, что правый (N-1)-кратный интеграл представляет собой объём (N-1)-сферы радиуса

$r={\sqrt {1-x_{1}^{2}}}.$

Его можно выразить через объём единичной (N-1)-сферы как

$V_{N-1}\left({\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)=V_{N-1}(1)\left(1-x_{1}^{2}\right)^{\frac {N-1}{2}}.$

Тогда интеграл приводится к виду

$V_{N}(1)=V_{N-1}(1)\int _{-1}^{1}\left(1-x_{1}^{2}\right)^{\frac {N-1}{2}}dx_{1}.$

Сделаем замену переменных

$x_{1}^{2}=t;\qquad dx_{1}={\frac {dt}{2{\sqrt {t}}}};$

$V_{N}(1)=2\cdot V_{N-1}(1)\int _{0}^{1}{\frac {\left(1-t\right)^{\frac {N-1}{2}}}{2{\sqrt {t}}}}dt=V_{N-1}(1)\cdot B\left({\tfrac {1}{2}}~;{\tfrac {N+1}{2}}\right),$

где B — бета-функция.

Используя известные выражения для бета- и гамма-функций

$B(a,b)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}};\quad \Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {\pi }};\quad \Gamma (n)=(n-1)!;\quad \Gamma (x)=(x-1)\cdot \Gamma (x-1),$

получим рекуррентную формулу для объёма сферы:

$V_{N}(1)=V_{N-1}(1)\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma ({\frac {N+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {N+2}{2}})}}=V_{N-1}(1)\cdot {\frac {{\sqrt {\pi }}~\Gamma ({\frac {N+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {N+2}{2}})}}.$

Чтобы вычислить объём N-сферы, применим её N-1 раз к единичной одномерной сфере (отрезку), объём которой равен 2.

${\begin{aligned}V_{N}(1)&=V_{1}(1)\cdot {\frac {{\sqrt {\pi }}~\Gamma ({\frac {N+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {N+2}{2}})}}\cdot {\frac {{\sqrt {\pi }}~\Gamma ({\frac {N}{2}})}{\Gamma ({\frac {N+1}{2}})}}\cdot ...\cdot {\frac {{\sqrt {\pi }}~\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma (2)}}=\\&={\frac {2\cdot \pi ^{\frac {N-1}{2}}\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma ({\frac {N+2}{2}})}}={\frac {2\cdot \pi ^{\frac {N-1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {N+2}{2}})}}={\frac {\pi ^{\frac {N}{2}}}{\Gamma ({\frac {N}{2}}+1)}}\end{aligned}}$

Итак, мы получили общую формулу для объёма N-сферы

$V_{N}={\frac {\pi ^{\frac {N}{2}}R^{N}}{\Gamma ({\frac {N}{2}}+1)}}.$

Для чётных N формула принимает вид:

$~N=2k;$

$\Gamma ({\tfrac {N}{2}}+1)=\Gamma (k+1)=k!=({\tfrac {N}{2}})!;$

$V_{N}={\frac {\pi ^{\frac {N}{2}}R^{N}}{({\tfrac {N}{2}})!}}.$

Для нечётных N:

$~N=2k-1;$

${\begin{aligned}\Gamma ({\tfrac {N}{2}}+1)&=\Gamma (k+{\tfrac {1}{2}})=\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)\cdot \left(k-{\tfrac {3}{2}}\right)\cdot \left(k-{\tfrac {5}{2}}\right)\cdot ...\cdot {\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{2}})=\\&={\frac {2k-1}{2}}\cdot {\frac {2k-3}{2}}\cdot {\frac {2k-5}{2}}\cdot ...\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\pi }}=\\&={\frac {N}{2}}\cdot {\frac {N-2}{2}}\cdot {\frac {N-4}{2}}\cdot ...\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\pi }}={\frac {N!!}{2^{\frac {N+1}{2}}}}\cdot {\sqrt {\pi }},\end{aligned}},$

где !! — символ двойного факториала.

$V_{N}={\frac {\pi ^{\frac {N-1}{2}}R^{N}2^{\frac {N+1}{2}}}{N!!}}.$

Окончательно получаем следующие формулы.

Для чётного N:

$V_{N}={\frac {\pi ^{\frac {N}{2}}R^{N}}{{\frac {N}{2}}!}}.$

Для нечётного N:

$V_{N}={\frac {\pi ^{\frac {N-1}{2}}R^{N}2^{\frac {N+1}{2}}}{N!!}}.$

Число измерений N	Объём шара VN	Площадь сферы SN
$~1$	$~2R$	$~2$
$~2$	$~\pi R^{2}$	$~2\pi R$
$~3$	$~{\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}$	$~4\pi R^{2}$
$~4$	$~{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}R^{4}$	$~2\pi ^{2}R^{3}$
$~5$	$~{\tfrac {8}{15}}\pi ^{2}R^{5}$	$~{\tfrac {8}{3}}\pi ^{2}R^{4}$
$~6$	$~{\tfrac {1}{6}}\pi ^{3}R^{6}$	$~\pi ^{3}R^{5}$
$~7$	$~{\tfrac {16}{105}}\pi ^{3}R^{7}$	$~{\tfrac {16}{15}}\pi ^{3}R^{6}$
$~8$	$~{\tfrac {1}{24}}\pi ^{4}R^{8}$	$~{\tfrac {1}{3}}\pi ^{4}R^{7}$
$~9$	$~{\tfrac {32}{945}}\pi ^{4}R^{9}$	$~{\tfrac {32}{105}}\pi ^{4}R^{8}$
$~10$	$~{\tfrac {1}{120}}\pi ^{5}R^{10}$	$~{\tfrac {1}{12}}\pi ^{5}R^{9}$

Преобразования гиперпространства

Движения

Как говорилось выше, евклидово пространство подразумевается однородным и изотропным, поэтому в нём существуют изометрические преобразования, в частности параллельный перенос.

Повороты

Рассмотрим однопараметрические повороты, то есть повороты, задаваемые одним числом, называемым углом поворота.

Главное свойство однопараметрического поворота состоит в том, что все точки, полученные из исходной точки путём поворота на всевозможные углы, лежат в одной плоскости и образуют в ней окружность.

Примером однопараметрического поворота может служить поворот вокруг точки в обычной 2-плоскости и поворот вокруг оси в трёхмерном пространстве. Поворот вокруг точки в трёхмерном пространстве не является однопараметрическим, так как даёт сферу, каждая точка которой имеет две координаты.

Выясним вид геометрического тела, вокруг которого происходит однопараметрический поворот в N-пространстве. Будем называть этот объект «осью», хотя в действительности он в общем случае не является прямой. Рассмотрим плоскость, в которой происходит движение точки. Очевидно, что 1) плоскость вращения должна быть перпендикулярна оси; 2) ось должна пересекаться с плоскостью в одной точке, так как поворот в плоскости возможен только вокруг точки; 3) во всех плоскостях, параллельных данной, поворот вокруг оси должен происходить аналогичным образом, т.е ось должна пересекать все параллельные плоскости пространства в одной точке и множество всех точек пересечения оси с параллельными плоскостями и будут составлять саму ось.

Рассмотрим N-пространство с декартовой системой координат и проведём исходную плоскость через две координатные оси (для определённости возьмём координатные оси x_N-1 и x_N). Она будет удовлетворять уравнениям:

$~\alpha :\quad x_{1}=0;\quad x_{2}=0;\quad ...\quad x_{N-2}=0.$

Уравнения плоскостей, параллельных исходной в общем виде запи­сываются как

$~\beta :\quad x_{1}=C_{1};\quad x_{2}=C_{2};\quad ...\quad x_{N-2}=C_{N-2},$

где C_i — любые постоянные.

Каждому набору из N-2 таких констант соответствует одна плоскость, параллельная данной. Для того, чтобы при пересечении с любой такой плоскостью ось давала единственную точку, система уравнений оси, очевидно, должна иметь следующий вид:

$~a:\quad x_{N-1}=C_{N-1};\quad x_{N}=C_{N}.$

Это уравнение плоскости размерности N - 2.

Таким образом, в N-пространстве однопараметрический поворот возможен только вокруг плоскости размерности N-2. Вокруг плоскостей высших размерностей поворот невозможен вообще, а вокруг плоскостей низших размерностей не будет однопараметрическим.

Однопараметрический поворот вокруг координатных плоскостей так же как в двух- и трёхмерном случаях задаётся формулой

$~{\begin{pmatrix}x'_{a}\\x'_{b}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{a}\\x_{b}\end{pmatrix}}.$

Подобие

Подобными называются две фигуры, одну из которых можно отобразить на другую, причём все расстояния между любыми точками одной фигуры пропорциональны расстояниям между соответствующими точками другой. Коэффициент пропорциональности носит название коэффициент подобия.

Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия. Аналогично, объёмы подобных N-мерных фигур относятся друг к другу как коэффициент подобия в степени N.

См. также

• Аналитическая геометрия
• Многомерное пространство
• Гиперкуб
• Гиперконус
• Финслерова геометрия

Ссылки

• Мухин О. И. Компьютерная графика. — Электронный учебник. Часть III / Лекция 16. Понятие размерности пространства.
• N-мернизм в Абсурдопедии на Викии