Гамма-функция

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Полезные мелочи / Гамма-функция / 1 // Павел Шестопалов [6:16]

Гамма-функция — это специальная функция от комплексной переменной имеющая интегральное представление, для положительной действительной части аргумента в виде интеграла Эйлера второго рода, для отрицательной действительной части — интегральное представление Ганкеля:

[math]\Gamma(x+iy)=\int\limits_0^\infty t^{x-1+iy}e^{-t}dt, \ x \gt 0[/math];
[math]\Gamma(x+iy)=\frac{2\pi i}{\oint\limits_C t^{-x-iy}e^tdt}, \ x \lt 0[/math].

(Контур C идёт из -∞ по отрицательной части действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части оси абсцисс возвращается к исходной точке).

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x = Re(z) — действительная часть (абсцисса) числа;

y = Im(z) — мнимая часть (ордината) числа;

z = x + iy — аргумент — комплексного числа;

Г(z) — гамма-функция.

[править] Формулы:

[править] Интеграл Эйлера II рода

[math]\Gamma(x+iy)=\int\limits_0^\infty t^{x-1+iy}e^{-t}dt, \ x \gt 0 \Leftrightarrow \Gamma(z) = \int\limits_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt, \ Re(z) \gt 0[/math]

[править] Интегральное представление Ганкеля

[math]\Gamma(x+iy)=\frac{2\pi i}{\oint\limits_C t^{-x-iy}e^tdt}, \ x \lt 0 \Leftrightarrow \Gamma(z)=\frac{2\pi i}{\oint\limits_C t^{-z}e^tdt}, \ Re(z) \lt 0[/math], где

C — контур идёт из -∞ по отрицательной части действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части оси абсцисс возвращается к исходной точке.

[править] Свойства:

[math]\Gamma(x+iy)=(x-1+iy)\Gamma(x-1+iy) \Leftrightarrow \Gamma(z)=(z-1)\Gamma(z-1)[/math]
[math]\Gamma(x+1+iy)=(x+iy)\Gamma(x+iy) \Leftrightarrow \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)[/math]
[math]\Gamma(x+iy)\Gamma(1-x-iy)=\frac{\pi}{\sin\left[\pi(x+iy)\right]} \Leftrightarrow \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}[/math]
[math]\Gamma\left(\frac{1}{2}+x+iy\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}-x-iy\right)=\frac{\pi}{\cos\left[\pi(x+iy)\right]} \Leftrightarrow \Gamma\left(\frac{1}{2}+z\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}-z\right)=\frac{\pi}{\cos(\pi z)}[/math]

[править] Примеры:

[math]\Gamma(n)=(n-1)!, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow \Gamma(1)=1[/math], [math]\Gamma(2)=1[/math], [math]\Gamma(3)=2[/math], [math]\Gamma(4)=6[/math], [math]\Gamma(5)=24[/math], [math]\Gamma(5)=24[/math], [math]\Gamma(6)=120[/math], [math]\Gamma(7)=720, \ldots[/math]
[math]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}[/math]
[math]\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt{\pi}, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow[/math]
[math] \Leftrightarrow \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}[/math], [math]\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}[/math], [math]\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{15\sqrt{\pi}}{8}[/math], [math]\Gamma\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{105\sqrt{\pi}}{16}[/math], [math]\Gamma\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{945\sqrt{\pi}}{32}[/math], [math]\Gamma\left(\frac{13}{2}\right)=\frac{10395\sqrt{\pi}}{64}[/math], [math]\Gamma\left(\frac{15}{2}\right)=\frac{135135\sqrt{\pi}}{128}, \ldots[/math]
[math]\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=\frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi}, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=\frac{(-4)^n n!}{(2n)!}\sqrt{\pi}, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\sqrt{\pi}[/math], [math]\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{4\sqrt{\pi}}{3}[/math], [math]\Gamma\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{8\sqrt{\pi}}{15}[/math], [math]\Gamma\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{16\sqrt{\pi}}{105}[/math], [math]\Gamma\left(-\frac{9}{2}\right)=\frac{32\sqrt{\pi}}{945}[/math], [math]\Gamma\left(-\frac{11}{2}\right)=-\frac{64\sqrt{\pi}}{10395}[/math], [math]\Gamma\left(-\frac{13}{2}\right)=\frac{128\sqrt{\pi}}{135135}, \ldots[/math]
[math]\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=(-1)^n\pi, \ n \in \mathbb{N}[/math]

[править] Другие функции:

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.633.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты