Гамма-функция

Гамма-функция, x=Re(z)

Полезные мелочи / Гамма-функция / 1 // Павел Шестопалов [6:16]

Гамма-функция — специальная функция от комплексной переменной, имеющая интегральное представление.

Гамма-функция

Обозначения

x = Re(z) — действительная часть (абсцисса) числа;

y = Im(z) — мнимая часть (ордината) числа;

z = x + iy — аргумент — комплексного числа;

Г(z) — гамма-функция.

Формулы:

Гамма-функция имеет интегральное представление, для положительной действительной части аргумента в виде интеграла Эйлера второго рода, для отрицательной действительной части — интегральное представление Ганкеля.

Интеграл Эйлера II рода

$\Gamma (x+iy)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1+iy}e^{-t}dt,\ x>0\Leftrightarrow \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt,\ Re(z)>0$

Интегральное представление Ганкеля

$\Gamma (x+iy)={\frac {2\pi i}{\oint \limits _{C}t^{-x-iy}e^{t}dt}},\ x<0\Leftrightarrow \Gamma (z)={\frac {2\pi i}{\oint \limits _{C}t^{-z}e^{t}dt}},\ Re(z)<0$, где

• C — контур идёт из -∞ по отрицательной части действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части оси абсцисс возвращается к исходной точке.

Свойства

$\Gamma (x+iy)=(x-1+iy)\Gamma (x-1+iy)\Leftrightarrow \Gamma (z)=(z-1)\Gamma (z-1)$

$\Gamma (x+1+iy)=(x+iy)\Gamma (x+iy)\Leftrightarrow \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

$\Gamma (x+iy)\Gamma (1-x-iy)={\frac {\pi }{\sin \left[\pi (x+iy)\right]}}\Leftrightarrow \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}$

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}+x+iy\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-x-iy\right)={\frac {\pi }{\cos \left[\pi (x+iy)\right]}}\Leftrightarrow \Gamma \left({\frac {1}{2}}+z\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)={\frac {\pi }{\cos(\pi z)}}$

Примеры

$\Gamma (n)=(n-1)!,\ n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow \Gamma (1)=1$, $\Gamma (2)=1$, $\Gamma (3)=2$, $\Gamma (4)=6$, $\Gamma (5)=24$, $\Gamma (6)=120$, $\Gamma (7)=720,\ldots$

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt{\pi}, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{15\sqrt{\pi}}{8}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{105\sqrt{\pi}}{16}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{945\sqrt{\pi}}{32}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{13}{2}\right)=\frac{10395\sqrt{\pi}}{64}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{15}{2}\right)=\frac{135135\sqrt{\pi}}{128}, \ldots}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=\frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi}, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=\frac{(-4)^n n!}{(2n)!}\sqrt{\pi}, \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\sqrt{\pi}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{4\sqrt{\pi}}{3}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{8\sqrt{\pi}}{15}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{16\sqrt{\pi}}{105}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(-\frac{9}{2}\right)=\frac{32\sqrt{\pi}}{945}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(-\frac{11}{2}\right)=-\frac{64\sqrt{\pi}}{10395}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(-\frac{13}{2}\right)=\frac{128\sqrt{\pi}}{135135}, \ldots}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=(-1)^n\pi, \ n \in \mathbb{N}}

Другие функции:

1. интегральный синус;
2. интегральный косинус;
3. интегральная показательная функция;
4. интегральный логарифм;
5. гамма-функция;
6. бета-функция;
7. неполная гамма-функция;
8. неполная бета-функция.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.633.