Бета-функция

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Интеграл Эйлера I рода
Факториал дробного числа. Гамма-функция и бета-функция // Точки Лагранжа [56:21]

Бета-функция — это специальная функция от двух комплексных переменных, имеющая интегральное представление:

[math]B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=\int\limits_0^1t^{x_1-1+iy_1}(1-t)^{x_2-1+iy_2}dt, \ x_1 \gt 0, \ x_2 \gt 0[/math].

Содержание

[править] Обозначения:

x1 = Re(z1) — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y1 = Im(z1) — мнимая часть (ордината) первого числа;

x2 = Re(z2) — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y2 = Im(z2) — мнимая часть (ордината) второго числа;

z1 = x1 + iy1 — первое комплексное число;

z2 = x2 + iy2 — второе комплексное число;

t — параметр интегрирования;

φ — параметр интегрирования;

Г(z) — гамма-функция;

B(z1,z2) — бета-функция.

[править] Формулы:

[править] Интеграл Эйлера I рода

[math]B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=\int\limits_0^1t^{x_1-1+iy_1}(1-t)^{x_2-1+iy_2}dt, \ x_1 \gt 0, \ x_2 \gt 0 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow B(z_1,z_2)=\int\limits_0^1t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}dt, \ Re(z_1) \gt 0, \ Re(z_2) \gt 0[/math]

[править] Интегральное представление

[math]B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{x_1-1+iy_1}}{(1+t)^{x_1+iy_1+x_2+iy_2}}dt, \ x_1 \gt 0, \ x_2 \gt 0 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow B(z_1,z_2)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{z_1-1}}{(1+t)^{z_1+z_2}}dt, \ Re(z_1) \gt 0, \ Re(z_2) \gt 0 [/math]
[math]\Leftrightarrow B(z_1,z_2)=2\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2z_1-1}\varphi\cos^{2z_2-1}\varphi d\varphi, \ Re(z_1) \gt 0, \ Re(z_2) \gt 0[/math]

[править] Свойства:

[math]B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=\frac{\Gamma(x_1+iy_1)\Gamma(x_2+iy_2)}{\Gamma(x_1+iy_1+x_2+iy_2)} \Leftrightarrow B(z_1,z_2)=\frac{\Gamma(z_1)\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)}[/math]
[math]B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=B(x_2+iy_2,x_1+iy_1) \Leftrightarrow B(z_1,z_2)=B(z_2,z_1)[/math]
[math]B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)B(x_1+iy_1+x_2+iy_2,x_3+iy_3)=[/math]
[math]=B(x_2+iy_2,x_3+iy_3)B(x_2+iy_2+x_3+iy_3,x_1+iy_1) \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow B(z_1,z_2)B(z_1+z_2,z_3)=B(z_2,z_3)B(z_2+z_3,z_1)[/math]

[править] Примеры:

[math]B(n_1,n_2)=\frac{\Gamma(n_1)\Gamma(n_2)}{\Gamma(n_1+n_2)}, \ n_1 \in \mathbb{N}, \ n_2 \in \mathbb{N} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow B(n_1,n_2)=\frac{(n_1-1)!(n_2-1)!}{(n_1+n_2-1)!}, \ n_1 \in \mathbb{N}, \ n_2 \in \mathbb{N}[/math]
[math]B\left(n_1+\frac{1}{2},n_2+\frac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(n_1+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n_2+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(n_1+n_2+1)}, \ n_1 \in \mathbb{N}, \ n_2 \in \mathbb{N} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow B\left(n_1+\frac{1}{2},n_2+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n_1-1)!!(2n_2-1)!!}{2^{n_1+n_2}(n_1+n_2)!}\pi, \ n_1 \in \mathbb{N}, \ n_2 \in \mathbb{N}[/math]
[math]B\left(\frac{1}{2}+n,\frac{1}{2}-n\right)=\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right), \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow B\left(\frac{1}{2}+n,\frac{1}{2}-n\right)=(-1)^n\pi[/math]

[править] Другие функции:

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.638.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты