Метод математической индукции для неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа

Доказательство методом математической индукции неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа использует индукцию вверх от n к n+1.

Обозначения

n – число натуральных чисел, n>1;

n! – n-факториал числа – произведение n первых натуральных чисел;

(2n-1)!! – двойной факториал нечётного числа – произведение n первых нечётных чисел.

Формула неравенства

$n{\text{!·}}(2n-1){\text{!!}}>n^{n}\Leftrightarrow 1{\text{·}}2{\text{·}}\ldots {\text{·}}n{\text{·}}1{\text{·}}3{\text{·}}\ldots {\text{·}}(2n-1)>n^{n}\Leftrightarrow \prod \limits _{i=1}^{n}i\prod \limits _{i=1}^{n}(2i-1)>n^{n}$

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

то есть неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и доказываем неравенство для k=n+1.

то есть неравенство верно при k=n+1, ч.т.д.

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство Маркова для дискретной случайной величины;
5. неравенство Маркова для непрерывной случайной величины;
6. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
7. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
8. неравенство трёх квадратов;
9. неравенство трёх кубов;
10. неравенство трёх попарных отношений;
11. неравенство Чебышёва для дискретной случайной величины;
12. неравенство Чебышёва для непрерывной случайной величины;
13. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
14. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
15. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
16. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
17. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
18. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
19. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
20. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
21. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух;
22. ММИ для неравенства Бернулли;
23. ММИ для неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
24. ММИ для неравенства произведения n факториалов чётных чисел;
25. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
26. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
27. ММИ для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
28. ММИ для неравенства факториала чётного числа.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.93, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara