Доказательство неравенства Маркова для непрерывной случайной величины

Доказательство неравенства Маркова для непрерывной случайной величины.

Обозначения

X — непрерывная положительная случайная величина;

M(X) — математическое ожидание положительной случайной величины X;

ε — положительное число большее чем M(X).

Формула неравенства

$P(X\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

$P(X>\varepsilon )\leqslant {\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

• Заметим, что вероятность равенства для непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства равнозначны.

Доказательство

$M(X)=\int \limits _{0}^{\infty }xf(x)dx\geqslant \int \limits _{\varepsilon }^{\infty }xf(x)dx\geqslant \int \limits _{\varepsilon }^{\infty }\varepsilon f(x)dx=\varepsilon \int \limits _{\varepsilon }^{\infty }f(x)dx=\varepsilon P(X\geqslant \varepsilon )\Rightarrow M(X)\geqslant \varepsilon P(X\geqslant \varepsilon )\Rightarrow P(X\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {M(X)}{\varepsilon }}$ , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство Маркова для дискретной случайной величины;
5. неравенство Маркова для непрерывной случайной величины;
6. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
7. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
8. неравенство трёх квадратов;
9. неравенство трёх кубов;
10. неравенство трёх попарных отношений;
11. неравенство Чебышёва для дискретной случайной величины;
12. неравенство Чебышёва для непрерывной случайной величины;
13. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
14. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
15. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
16. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
17. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
18. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
19. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
20. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
21. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух;
22. ММИ для неравенства Бернулли;
23. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
24. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
25. ММИ для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
26. ММИ для неравенства факториала чётного числа.

Литература

• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2004, стр.223-224.