Доказательство неравенства Чебышёва для непрерывной случайной величины

Доказательство неравенства Чебышёва для непрерывной случайной величины.

Обозначения

X — непрерывная случайная величина;

M(X) — математическое ожидание случайной величины X;

D(X) — дисперсия случайной величины X;

ε — положительное число большее, чем корень из D(X).

Y — положительная непрерывная случайная величина;

M(Y) — математическое ожидание случайной величины Y;

e — положительное число большее, чем M(Y).

Формула неравенства

$P(|X-M(X)|>\varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

$P(|X-M(X)|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

• Заметим, что вероятность равенства для непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства равнозначны.

Доказательство

Применим неравенство Маркова для непрерывной случайной величины Y.

$Y=\left(X-M(X)\right)^{2},\ e=\varepsilon ^{2}\Rightarrow _{\text{неравенство Маркова}}\Rightarrow P(Y>e)\leqslant {\frac {M(Y)}{e}},\ M(Y)=M\left((X-M(X))^{2}\right)=D(X)\Rightarrow$

$\Rightarrow P(|X-M(X)|>\varepsilon )=P(|X-M(X)|^{2}>\varepsilon ^{2})=P(Y>e)\leqslant {\frac {M(Y)}{e}}={\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}\Rightarrow P(|X-M(X)|>\varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$ , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство Маркова для дискретной случайной величины;
5. неравенство Маркова для непрерывной случайной величины;
6. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
7. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
8. неравенство трёх квадратов;
9. неравенство трёх кубов;
10. неравенство трёх попарных отношений;
11. неравенство Чебышёва для дискретной случайной величины;
12. неравенство Чебышёва для непрерывной случайной величины;
13. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
14. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
15. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
16. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
17. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
18. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
19. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
20. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
21. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух;
22. ММИ для неравенства Бернулли;
23. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
24. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
25. ММИ для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
26. ММИ для неравенства факториала чётного числа.

Литература

• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2004, стр.225.