Петля гистерезиса (модель Лапшина)

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.1.png

Рис. 1. Петли гистерезиса типа Лист ($n=1$), Месяц (Бумеранг, $n=2$) и Классическая ($n=3$). Площадь всех трёх петель одинаковая

Модель петли гистерезиса Лапшина — модель петли гистерезиса, предложенная Лапшиным.

Способна аппроксимировать большинство из известных типов статических симметричных петель гистерезиса, встречающихся на практике.

Общая информация

Модель позволяет строить гладкие, кусочно-линейные, гибридные, частные, зеркально-отражённые, обратные, реверсивные, двойные и тройные петли гистерезиса. Погрешность аппроксимации петли гистерезиса, как правило, не превышает 1 %.

В модели Лапшина семейство петель гистерезиса описывается с помощью следующих параметрических уравнений

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )=a\cos ^{m}\alpha +b_{x}\sin ^{n}\alpha ,\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\sin \alpha ,\end{array}}$ (1)

где: $\alpha$ — действительный параметр ($\alpha =0\dots 2\pi$); $a$ — $x$-координата точки расщепления (см. Рис. 1); $b_{x}$, $b_{y}$ — координаты точки насыщения; $m$ — положительное целое нечётное число ($m=1,3,5,\dots$), определяющее кривизну петли гистерезиса; $n$ — положительное целое число, определяющее тип петли гистерезиса и её кривизну. При $n=1$ возникает петля типа Лист, при $n=2,4,6,\dots$ — петля типа Месяц (Бумеранг), при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=3, 5, 7, \dots}  — петля типа Классическая.

Гладкие петли гистерезиса

Представление в виде суммы нерасщеплённой петли и кривой расщепления

Петлю гистерезиса (1) всегда можно представить в виде суммы двух параметрических кривых

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )=x_{1}(\alpha )+x_{2}(\alpha ),\\[0pt]y(\alpha )=y_{1}(\alpha )+y_{2}(\alpha ),\end{array}}$ (2)

где $x_{1}(\alpha )=b_{x}\sin ^{n}\alpha$, $y_{1}(\alpha )=b_{y}\sin \alpha$ – нерасщеплённая петля; $x_{2}(\alpha )=a\cos ^{m}\alpha$, $y_{2}(\alpha )=0$ – кривая расщепления.

Представление в виде частотного спектра

Порождающая функция $x(\alpha )$ легко раскладывается в ряд Фурье

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )=\displaystyle \sum _{k=1}^{l}\left(A_{k}\cos(k\alpha )+B_{k}\sin(k\alpha )\right),\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\sin \alpha ,\end{array}}$ (3)

где коэффициенты Фурье $A_{k}$, $B_{k}$ для нечётных $n$ определяются по алгебраическим формулам

${\begin{array}{lcl}A_{k}=\displaystyle {\frac {a}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-k}{2}},\\[0pt]B_{k}=(-1)^{\left\lfloor {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor }\displaystyle {\frac {b_{x}}{2^{n-1}}}C_{n}^{\frac {n-k}{2}},\end{array}}$ (4)

где $C_{l}^{k}$ – биномиальный коэффициент ($k$, $l$ – целые положительные числа); $\textstyle C_{l}^{k}=l!/[k!(l-k)!]$, если $0\leq k\leq l$, иначе $C_{l}^{k}=0$ (также $C_{l}^{k}=0$, если $k$ – действительное число).

При нечётных $n$ амплитуда постоянной составляющей $A_{0}$ ($k=0$) и амплитуды $A_{k}$ и $B_{k}$ всех чётных гармоник ($k=2,4,6,\dots$) в (3) равны нулю. Величина $l$ задаётся равной наибольшей из степеней $m$ и $n$. Функция floor в выражении для $B_{k}$ – необязательна, она используется только для того, чтобы избежать появления комплексных чисел при чётных $k$.

Располагая коэффициентами Фурье $A_{k}$, $B_{k}$, порождающую функцию $x(\alpha )$ можно также представить в виде

$x(\alpha )=\displaystyle \sum _{k=1}^{l}Am_{k}\cos(k\alpha -\phi _{k}),$ (5)

где амплитуды $Am_{k}$ и фазы $\phi _{k}$ гармоник определяются по формулам

${\begin{array}{lcl}Am_{k}={\sqrt {A_{k}^{2}+B_{k}^{2}}}={\sqrt {\left(\displaystyle {\frac {a}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-k}{2}}\right)^{2}+\left(\displaystyle {\frac {b_{x}}{2^{n-1}}}C_{n}^{\frac {n-k}{2}}\right)^{2}}},\\[0pt]\tan \phi _{k}=\displaystyle {\frac {B_{k}}{A_{k}}}=(-1)^{\left\lfloor {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor }2^{m-n}\displaystyle {\frac {C_{n}^{\frac {n-k}{2}}b_{x}}{C_{m}^{\frac {m-k}{2}}a}}.\end{array}}$ (6)

Представление порождающей функции $x(\alpha )$ в виде частотного спектра (5) позволяет синтезировать петли гистерезиса требуемой формы, наклона и кривизны путём изменения амплитуд и фаз гармонических составляющих и путём добавления/исключения гармонических составляющих с определёнными значениями амплитуд и фаз.

Наклонение петли поворотом системы координат

Необходимый наклон петли на угол $\theta$ в точке расщепления $a$ устанавливается с помощью следующих преобразований

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha )+\sin \theta (b_{x}\sin \theta +b_{y}\cos \theta )(\sin \alpha -\sin ^{n}\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha )+\sin \theta (b_{x}\cos \theta -b_{y}\sin \theta )(\sin \alpha -\sin ^{n}\alpha ).\end{array}}$ (7)

Площадь петли

Площадь петли (7) вычисляется по формуле

$S={\frac {\pi a}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-1}{2}}\left\{\sin \theta (b_{x}\cos \theta -b_{y}\sin \theta )\left[1-(m+1)\prod _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2k+1}{m+n-2k}}\right]+b_{y}\right\}.$ (8)

Фазовые сдвиги

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.2.png

Рис. 2. Действие фазовых сдвигов на петлю гистерезиса Классическая: (а) наклонение с помощью фазового сдвига $\Delta \alpha _{1}$, плавное изменение кривизны с помощью фазового сдвига (б) $\Delta \alpha _{2}$, (в) $\Delta \alpha _{3}$

Фазовые сдвиги $\Delta \alpha _{1}$, $\Delta \alpha _{2}$, $\Delta \alpha _{3}$ позволяет плавно наклонять петлю гистерезиса в точке расщепления $a$ на требуемый угол $\theta$, а также плавно изменять кривизну петли

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )={\hat {a}}\cos ^{m}(\alpha +\Delta \alpha _{1})+{\hat {b}}_{x}\sin ^{n}(\alpha +\Delta \alpha _{2}),\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\sin(\alpha +\Delta \alpha _{3}),\end{array}}$ (9)

где ${\hat {a}}$, ${\hat {b}}_{x}$ – скорректированные параметры для $a$, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_x} , соответственно.

Скорректированные параметры ${\hat {a}}$, ${\hat {b}}_{x}$ находятся по формулам

${\begin{array}{lcl}{\hat {a}}=\displaystyle {\frac {a\cos ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})-b_{x}\sin ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}{\sin ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\sin ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})+\cos ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\cos ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}},\\[0pt]{\hat {b}}_{x}=\displaystyle {\frac {a\sin ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})+b_{x}\cos ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})}{\sin ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\sin ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})+\cos ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\cos ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}}.\end{array}}$ (10)

Фазовый сдвиг Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_1} требуемый для наклонения петли в точке расщепления Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0} ) на заданный угол Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} рассчитывается по формуле

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_1=-\arctan\frac{b_y\tan\theta}{ma}.} (11)

На Рис. 2 показано влияние фазовых сдвигов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha} на петлю гистерезиса Классическая.

Порождающая функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(\alpha)} в (9) также может быть представлена в виде (3) и (5). Коэффициенты Фурье Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_k} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_k} в этом случае определяются по формулам

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}A_k=\displaystyle\frac{\hat{a}}{2^{m-1}}C_{m}^{\frac{m-k}{2}}\cos(k\Delta\alpha_1)+(-1)^\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor\displaystyle\frac{\hat{b}_x}{2^{n-1}}C_{n}^{\frac{n-k}{2}}\sin(k\Delta\alpha_2), \\[0pt] B_k=\displaystyle\frac{-\hat{a}}{2^{m-1}}C_{m}^{\frac{m-k}{2}}\sin(k\Delta\alpha_1)+(-1)^\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor\displaystyle\frac{\hat{b}_x}{2^{n-1}}C_{n}^{\frac{n-k}{2}}\cos(k\Delta\alpha_2).\end{array}} (12)

Площадь петли

Площадь петли (9) вычисляется по формуле

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}S=\left[\displaystyle\frac{\hat{a}}{2^{m-1}}C_{m}^{\frac{m-1}{2}}\cos(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)+\displaystyle\frac{\hat{b}_x}{2^{n-1}}C_{n}^{\frac{n-1}{2}}\sin(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)\right]\pi b_y \\[0pt] =\displaystyle\frac{Am_1(\cos\Delta\alpha_3-\tan\phi_1\sin\Delta\alpha_3)}{\sqrt{\tan^2\phi_1+1}}\pi b_y=(A_1\cos\Delta\alpha_3-B_1\sin\Delta\alpha_3)\pi b_y.\end{array}} (13)

Подставляя в (13) нулевые фазовые сдвиги Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_1=\Delta\alpha_2=\Delta\alpha_3=0} , получаем формулу для вычисления площади петли (1)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\displaystyle\frac{1}{2^{m-1}}C_{m}^{\frac{m-1}{2}}\pi a b_y=\displaystyle\frac{\pi Am_1 b_y}{\sqrt{\tan^2\phi_1+1}}=\pi A_1 b_y.} (14)

Наклонение и искривление петли перекосом системы координат

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.3.png

Рис. 3. Наклонение петли гистерезиса Классическая путём перекоса системы координат на угол Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} в направлении оси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} . Площадь всех петель одна и та же при любых углах перекоса Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta}

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.4.png

Рис. 4. Изменение кривизны петли гистерезиса Классическая путём перекоса системы координат на угол Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa} в направлении оси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} . Наклонение петли в точке расщепления на угол (а) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=15^\circ} , (б) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=-15^\circ} . Петли, наклонённые на любой угол Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , у которых все остальные параметры одни и те же, имеют одинаковые площади

Петли гистерезиса можно наклонять путём перекоса системы координат на угол Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} в направлении оси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} с помощью следующего преобразования (см. Рис. 3)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\bar{x}(\alpha)=x(\alpha)+b_y\tan\theta(\sin\alpha-\sin^n\alpha), \\[0pt] \bar{y}(\alpha)=y(\alpha).\end{array}} (15)

Дополнительный перекос системы координат на угол Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa} в направлении оси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\bar{x}(\alpha)=x(\alpha)+\tan\theta(b_x\tan\kappa+b_y)(\sin\alpha-\sin^n\alpha), \\[0pt] \bar{y}(\alpha)=y(\alpha)+b_x\tan\kappa(\sin\alpha-\sin^n\alpha),\end{array}} (16) позволяет плавно изменять кривизну петли (см. Рис. 4).

Площадь петли

Площадь петли (16) вычисляется по формуле

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{\pi a}{2^{m-1}}C_{m}^{\frac{m-1}{2}}\left\{b_x\tan\kappa\left[1-(m+1)\prod_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}\frac{2k+1}{m+n-2k}\right]+b_y\right\}.} (17)

Для минимизации погрешности аппроксимирующую петлю рекомендуется проводить, используя метод наименьших квадратов.

Кусочно-линейные и гибридные петли гистерезиса

Петли на трапецеидальных импульсах

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.5.png

Рис. 5. Кусочно-линейная петля гистерезиса Лист (Люфт без Усов, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=1} ), гибридный Месяц (гибридный Бумеранг, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=2} ) и гибридная Классическая (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=3} ), построенные на трапецеидальных импульсах. Площадь всех трёх петель одинаковая

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.6.png

Рис. 6. Кусочно-линейные петли гистерезиса с усилением/ослаблением Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} : (а) Люфт-Реле-Люфт, (б) Люфт-Люфт, (в) Люфт-Реле, построенные на трапецеидальных импульсах с использованием фазовых сдвигов

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.7.png

Рис. 7. Кусочно-линейные петли гистерезиса: (а) Люфт с Усилением без Усов (параллелограммная, билинейная, упругопластическая петля), (б) Люфт с Ослаблением без Усов, (в) Люфт без Усов, (г) Неидеальное Реле с Усилением без Усов, (д) Неидеальное Реле с Ослаблением без Усов, (е) Неидеальное Реле без Усов (прямоугольная петля), построенные на трапецеидальных импульсах

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.8.png

Рис. 8. Гибридные Классические петли гистерезиса без усов с заданным наклоном Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta=\pi/2-\theta} в точке расщепления. Петли построены на трапецеидальных импульсах. Площадь всех петель одна и та же при любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta}

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.9.png

Рис. 9. Гибридные Классические петли гистерезиса без усов с заданным наклоном Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta=\pi/2-\theta} , усилением/ослаблением Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} и кривизной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa} . (а) Разные усиления Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} при фиксированных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa} , (б) разные кривизны Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa} при фиксированных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} . Петли построены на трапецеидальных импульсах

Заменяя синусы и косинусы в порождающих функциях Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(\alpha)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(\alpha)} модели (1) на трапецеидальные импульсы единичной амплитуды Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{trp_s}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{trp_c}} , соответственно, получаем уравнения кусочно-линейных петель гистерезиса, построенные на трапецеидальных импульсах

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}x(\alpha)=a\operatorname{trp_c}^m\alpha+(b_x-a)\operatorname{trp_s}^n\alpha, \\[0pt] y(\alpha)=b_y\operatorname{trp_s}\alpha,\end{array}} (18))

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0\dots T} ; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} – период трапецеидальных импульсов.

Трапецеидальные импульсы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{trp}} определяются следующим образом

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\operatorname{trp_s}\alpha=\displaystyle\sum_{i} \left[\displaystyle\frac{4}{D-d}\left(\alpha-i\frac{T}{2}\right)(-1)^i\operatorname{rect_1}(\alpha,i)+(-1)^i\operatorname{rect_2}(\alpha,i)\right], \\[0pt] \operatorname{trp_c}\alpha=\operatorname{trp_s}(\alpha+\frac{T}{4}),\end{array}} (19)

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} – верхнее и нижнее основания трапецеидальных импульсов, соответственно (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D=3d} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=d+D=4d} ); Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect_1}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect_2}} – прямоугольные импульсы.

Прямоугольные импульсы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect_1}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect_2}} , в свою очередь, определяются через функцию ступеньки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{H}(\alpha)} (функцию Хевисайда)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\operatorname{rect_1}(\alpha,i)=\operatorname{H}\left(\alpha+\frac{D-d}{4}-i\frac{T}{2}\right)-\operatorname{H}\left(\alpha-\frac{D-d}{4}-i\frac{T}{2}\right), \\[0pt] \operatorname{rect_2}(\alpha,i)=\operatorname{H}\left(\alpha-\frac{D-d}{4}-i\frac{T}{2}\right)-\operatorname{H}\left(\alpha-\frac{D-d}{4}-d-i\frac{T}{2}\right).\end{array}} (20)

На Рис. 5 изображены петли трёх типов: Лист (Люфт без Усов), Месяц (Бумеранг) и Классическая, построенные согласно формул (18). Петля Лист является кусочно-линейной. Петли Месяц и Классическая являются гибридными – в них прямолинейные участки сочетаются с криволинейными.

С учётом фазовых сдвигов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_2} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_3} уравнения (18) приобретают вид

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}x(\alpha)=\hat{a}\operatorname{trp_c}^m(\alpha+\Delta\alpha_1)+\hat{b}_x\operatorname{trp_s} ^n(\alpha+\Delta\alpha_2), \\[0pt] y(\alpha)=b_y\operatorname{trp_s}(\alpha+\Delta\alpha_3).\end{array}} (21)

Скорректированные параметры Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{a}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{b}_x} определяются с помощью следующих формул

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\hat{a}=\displaystyle\frac{a\operatorname{trp_s}^n(\alpha_b+\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)-b_x\operatorname{trp_s}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)}{\operatorname{trp_c}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)\operatorname{trp_s}^n(\alpha_b+\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)-\operatorname{trp_c}^m(\alpha_b+\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)\operatorname{trp_s}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)}, \\[0pt] \hat{b}_x=\displaystyle\frac{b_x\operatorname{trp_c}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)-a\operatorname{trp_c}^m(\alpha_b+\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)}{\operatorname{trp_c}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)\operatorname{trp_s}^n(\alpha_b+\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)-\operatorname{trp_c}^m(\alpha_b+\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)\operatorname{trp_s}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)},\end{array}} (22)

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_b} равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T/8-\Delta\alpha_1+\Delta\alpha_3} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T/8-\Delta\alpha_1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3T/8-\Delta\alpha_2+\Delta\alpha_3} и другим значениям в зависимости от используемых диапазонов фазовых сдвигов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_2} , $\Delta \alpha _{3}$.

Чтобы получить кусочно-линейные петли с усилением/ослаблением $\gamma$, добавим к (21) дополнительный член (кривую), отвечающий за усиление/ослабление ($m=n=1$)

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha )+\tan \gamma \left[x(\alpha )-b_{x}\operatorname {trp_{s}} (\alpha +\Delta \alpha _{3})\right].\end{array}}$ (23)

На Рис. 6 показаны петли с усилением ($\gamma >0$) и с ослаблением (отрицательным усилением $\gamma <0$), построенные по уравнениям (23).

Безусые петли Люфт и Неидеальное Реле с усилением/ослаблением и без него (см. Рис. 7) строятся с помощью следующих уравнений

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=\displaystyle {\frac {a\tan \beta \operatorname {trp_{c}} \alpha +(b_{y}-b_{x}\tan \gamma )\operatorname {trp_{s}} \alpha }{\tan \beta -\tan \gamma }},\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=\tan \beta ({\bar {x}}(\alpha )-a\operatorname {trp_{c}} \alpha ),\end{array}}$ (24)

где параметры петли $a$, $b_{x}$, $b_{y}$, $\beta$ связаны между собой соотношением: $\tan \beta =b_{y}/(b_{x}-a)$.

Гибридные Классические петли без усов с заданным наклоном $\beta =\pi /2-\theta$ в точке расщепления (см. Рис. 8) строятся с помощью следующего преобразования ($m=1$, $\Delta \alpha _{1}=\Delta \alpha _{2}=\Delta \alpha _{3}=0$)

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha )+b_{y}\sin \theta (\operatorname {trp_{s}} \alpha -\operatorname {trp_{s}} ^{n}\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha ).\end{array}}$ (25)

Гибридные Классические петли без усов, имеющие заданный наклон $\beta$ в точке расщепления, заданный наклон (усиление/ослабление) $\gamma$ прямолинейного участка, требуемую кривизну Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa} криволинейного участка (см. Рис. 9), строятся с помощью следующего преобразования (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_1=\Delta\alpha_2=\Delta\alpha_3=0} )

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\bar{x}(\alpha)=x(\alpha)+\tan\theta\left[(b_x-a)\tan\kappa-b_x\tan\gamma+b_y\right](\operatorname{trp_s}\alpha-\operatorname{trp_s}^n\alpha), \\[0pt] \bar{y}(\alpha)=y(\alpha)+\left[(b_x-a)\tan\kappa-b_x\tan\gamma\right](\operatorname{trp_s}\alpha-\operatorname{trp_s}^n\alpha)+a\tan\gamma(\operatorname{trp_c}\alpha\operatorname{trp_s}^k\alpha-\operatorname{trp_s}^n\alpha),\end{array}} (26) где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=2, 4, \dots} – дополнительный параметр, управляющий кривизной петли.

Площадь петли

Площадь петель (18) и (25) вычисляется по формуле

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=4 a b_y.} (27)

Поскольку значения параметра Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} во всех угловых точках кусочно-линейных петель известны, то известны и декартовы координаты этих точек. Следовательно, площадь петель-многоугольников (см. Рис. 6), построенных по уравнениям (21), (23), может быть вычислена по формуле площади многоугольника, заданного координатами своих вершин.

Площади простейших кусочно-линейных петель (24), имеющих форму параллелограмма (см. Рис. 7), определяются по формуле

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=4a\left[\frac{(a-b_x)\tan\gamma+b_y}{\tan\beta-\tan\gamma}\tan\beta-\frac{a\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\beta-\gamma)}\right].} (28)

Площадь гибридной Классической петли с ненулевым усилением/ослаблением (26) вычисляется по формуле

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=4a\left\{\left[(b_x-a)\tan\kappa-b_x\tan\gamma+b_y\right]\left[\frac{k(n-1)}{(k+1)(n+k)}\tan\theta\tan\gamma+1\right]+(b_x-a)\left(\frac{k}{n+k}\tan\gamma-\tan\kappa\right)\right\}.} (29)

Петли на треугольных импульсах

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.10.png

Рис. 10. Кусочно-линейная петля Лист (двухсегментная петля, Люфт без Усов) при различных значениях фазового сдвига Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_1} , построенная на треугольных импульсах

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.11.png

Рис. 11. Кусочно-линейные петли гистерезиса: (а) Люфт с Усилением, (б) Люфт с Усилением без Усов (параллелограммная петля), (в) Люфт с Ослаблением, (г) Люфт с Ослаблением без Усов, (д) Люфт, (е) Люфт без Усов, (ё) Неидеальное Реле с Усилением, (ж) Неидеальное Реле с Усилением без Усов, (з) Неидеальное Реле с Ослаблением, (и) Неидеальное Реле с Ослаблением без Усов, (й) Неидеальное Реле (триггер Шмидта), (к) Неидеальное Реле без Усов (прямоугольная петля), построенные на треугольных импульсах

Помимо трапецеидальных импульсов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{trp}} в формулах (9) могут использоваться треугольные импульсы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tri}} , которые являются частными случаями трапецеидальных (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=0} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=D} )

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}x(\alpha)=\hat{a}\operatorname{tri_c}^m(\alpha+\Delta\alpha_1)+\hat{b}_x\operatorname{tri_s}^n(\alpha+\Delta\alpha_2), \\[0pt] y(\alpha)=b_y\operatorname{tri_s}(\alpha+\Delta\alpha_3).\end{array}} (30)

Треугольные импульсы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tri}} определяются следующим образом

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\operatorname{tri_s}\alpha=\displaystyle\sum_{i}\left[\displaystyle\frac{4}{T}\left(\alpha-i\frac{T}{2}\right)(-1)^i\operatorname{rect}(\alpha,i)\right], \\[0pt] \operatorname{tri_c}\alpha=\operatorname{tri_s}(\alpha+\frac{T}{4}),\end{array}} (31) где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect}} – прямоугольные импульсы.

Прямоугольные импульсы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect}} определяются через функцию ступеньки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{H}(\alpha)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect}(\alpha,i)=\textstyle\operatorname{H}\left(\alpha+\frac{T}{4}-i\frac{T}{2}\right)-\operatorname{H}\left(\alpha-\frac{T}{4}-i\frac{T}{2}\right).} (32)

Скорректированные параметры Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{a}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{b}_x} находятся по формулам

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\hat{a}=\displaystyle\frac{a\operatorname{tri_c}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)-b_x\operatorname{tri_s}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)}{\operatorname{tri_s}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)\operatorname{tri_s}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)+\operatorname{tri_c}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)\operatorname{tri_c}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)}, \\[0pt] \hat{b}_x=\displaystyle\frac{a\operatorname{tri_s}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)+b_x\operatorname{tri_c}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)}{\operatorname{tri_s}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)\operatorname{tri_s}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)+\operatorname{tri_c}^m(\Delta\alpha_1-\Delta\alpha_3)\operatorname{tri_c}^n(\Delta\alpha_2-\Delta\alpha_3)}.\end{array}} (33)

В качестве примера на Рис. 10 представлена кусочно-линейная петля Лист (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=n=1} ), построенная по формулам (30) при различных значениях положительного фазового сдвига Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_1} (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_2=\Delta\alpha_3=0} ).

Общее выражение, описывающее кусочно-линейную петлю гистерезиса Люфт с Усилением (см. Рис. 11а), выглядит следующим образом

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}x(\alpha)=b_x\operatorname{tri_s}\alpha, \\[0pt] y(\alpha)=(b_y-b_x\tan\gamma)\operatorname{trp_s}(\alpha-\frac{\alpha_a\tan\beta}{\tan\beta-\tan\gamma})+b_x\tan\gamma\operatorname{tri_s}\alpha,\end{array}} (34)

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_a=a T/(4b_x)} – значение параметра Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} в точке расщепления Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} .

Верхнее основание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} трапецеидальных импульсов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{trp_s}} в (34) определяется по формуле

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=\frac{T(b_x\tan\beta-b_y)}{2 b_x(\tan\beta-\tan\gamma)},} (35) а нижнее основание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} по формуле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D=T-d} .

Кусочно-линейная петля (34) построена на комбинации треугольных и трапецеидальных импульсов. Уравнения (34) являются универсальными, поскольку позволяют получить весь набор кусочно-линейных петель Люфт и Реле, показанных на Рис. 11. Площади кусочно-линейных петель (34) определяются по формуле (28).

Двойные петли гистерезиса

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.12.png

Рис. 12. Двойная (а) гладкая, (б) кусочно-линейная петля гистерезиса, образованная сцеплением в точке насыщения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} двух петель типа (а) Классическая, (б) Люфт с Усилением. В точке сцепления петлю можно сделать как самонепересекающейся, так и самопересекающейся

Уравнения двойной гладкой петли самонепересекающейся в точке начала координат (петля в форме 0) выглядят следующим образом (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0\dots 2\pi} )

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\overset{=}{x}(\alpha)=\displaystyle x\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(\pi-\alpha)-\Delta\alpha_3\right)+b_x\operatorname{sgn}(\pi-\alpha) \\[0pt] =(2\operatorname{rect}\alpha-1)\left(\textstyle x\left(2\alpha-\Delta\alpha_3-\frac{\pi}{2}\right)+b_x\right), \\[0pt] \overset{=}{y}(\alpha)=\displaystyle y\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(\pi-\alpha)-\Delta\alpha_3\right)+b_y\operatorname{sgn}(\pi-\alpha) \\[0pt] =(2\operatorname{rect}\alpha-1)\left(\textstyle y\left(2\alpha-\Delta\alpha_3-\frac{\pi}{2}\right)+b_y\right),\end{array}} (36)

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{sgn}\alpha=\alpha/|\alpha|} – сигнум-функция; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect}\alpha=\operatorname{H}(\alpha)-\operatorname{H}(\alpha-\pi)} – прямоугольный импульс шириной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi} .

Двойная петля (36) образуется путём сцепления двух петель в точке насыщения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} , где порождающая функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(\alpha)} достигает максимума Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_y} . Согласно (36) движение по двойной петле начинается в точке (0, 0) и происходит против часовой стрелки сначала по верхней петле затем по нижней, движение заканчивается в точке (0, 0). Пример двойной гладкой самонепересекающейся петли показан на Рис. 12а.

Петля, при движении по которой происходит самопересечение в точке начала координат (петля в форме 8), строится по формулам (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0\dots 2\pi} )

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\overset{=}{x}(\alpha)=x\left(\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\operatorname{sgn}(\pi-\alpha)-\Delta\alpha_3\right)+b_x\operatorname{sgn}(\pi-\alpha) \\[0pt] =\operatorname{rect}\alpha\left(x\left(2\alpha-\Delta\alpha_3-\frac{\pi}{2}\right)+b_x\right)+(1-\operatorname{rect}\alpha)\left(x\left(\frac{\pi}{2}-\Delta\alpha_3-2\alpha\right)-b_x\right), \\[0pt] \overset{=}{y}(\alpha)=y\left(\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\operatorname{sgn}(\pi-\alpha)-\Delta\alpha_3\right)+b_y\operatorname{sgn}(\pi-\alpha) \\[0pt] =\operatorname{rect}\alpha\left(y\left(2\alpha-\Delta\alpha_3-\frac{\pi}{2}\right)+b_y\right)+(1-\operatorname{rect}\alpha)\left(y\left(\frac{\pi}{2}-\Delta\alpha_3-2\alpha\right)-b_y\right).\end{array}} (37)

Внешне петли (36) и (37) не отличаются друг от друга.

Двойные самонепересекающиеся и самопересекающиеся кусочно-линейные петли строятся по формулам (36) и (37), соответственно, в которых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi} заменён на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T/2} (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0\dots T} ). На Рис. 12б показан пример двойной кусочно-линейной самонепересекающейся петли.

Передавливание петли в точке начала координат

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.13.png

Рис. 13. Двойная самонепересекающаяся петля гистерезиса типа Пропеллер, образованная передавливанием петли в точке начала координат посредством нулевого расщепления Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} и фазового сдвига Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_2}

Двойные самонепересекающиеся петли типа Пропеллер можно образовывать “передавливанием” петли в точке начала координат (см. Рис. 13). В данном способе расщепление Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} в формуле (9) задаётся равным нулю, а фазовый сдвиг Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_2} (или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_3} ), устанавливается отличным от нуля. В таких петлях сдвиг Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_2} (или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_3} ) выполняет функцию расщепления Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} .

Тройные петли гистерезиса

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.14.png

Рис. 14. Тройная (а) гладкая, (б) кусочно-линейная петля гистерезиса, образованная сцеплением в точках насыщения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} трёх петель типа (а) Классическая, (б) Люфт с Усилением. В точках сцепления петлю можно сделать как самонепересекающейся, так и самопересекающейся

Тройную петлю можно собрать из трёх петель – центральной и двух внешних. Тройные гладкие петли, сцепленные в точках насыщения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} , строятся по формулам (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0\dots 2\pi} )

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\overset{\equiv}{x}(\alpha)=(\operatorname{rect}\alpha+\operatorname{rect}(\alpha-\pi))x_1\left(3\alpha-\frac{\pi}{2}\right) \\[0pt] +(\operatorname{rect}\alpha+\operatorname{rect}(\alpha-\pi)-1)\left[x_2\left(\pm3\alpha-\frac{\pi}{2}\right)-(b_{1x}+b_{2x})\operatorname{sgn}(\pi-\alpha)\right], \\[0pt] \overset{\equiv}{y}(\alpha)=(\operatorname{rect}\alpha+\operatorname{rect}(\alpha-\pi))y_1\left(3\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\\[0pt] +(\operatorname{rect}\alpha+\operatorname{rect}(\alpha-\pi)-1)\left[y_2\left(\pm3\alpha-\frac{\pi}{2}\right)-(b_{1y}+b_{2y})\operatorname{sgn}(\pi-\alpha)\right],\end{array}} (38)

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1(\alpha)} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1(\alpha)} – уравнения центральной петли; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2(\alpha)} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2(\alpha)} – уравнения внешних петель; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_{1x}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_{1y}} – координаты точки насыщения центральной петли; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_{2x}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_{2y}} – координаты точек насыщения внешних петель; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{rect}\alpha=\operatorname{H}(\alpha)-\operatorname{H}(\alpha-\pi/3)} – прямоугольный импульс шириной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/3} .

При сборке петель (38) обычно выполняется условие Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma_1=\gamma_2} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma_1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma_2} – углы наклона касательных к нерасщеплённой (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1=0} ) центральной петле и нерасщеплённым (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_2=0} ) внешним петлям, соответственно, в точке насыщения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_1} . Углы наклона Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma_1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma_2} касательных определяются по формулам

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\gamma_1=\displaystyle\arctan\frac{b_{1y}}{n_1 b_{1x}}, \\[0pt] \gamma_2=\displaystyle\arctan\frac{b_{2y}}{n_2 b_{2x}}.\end{array}} (39)

Если в уравнениях (38) аргумент $3\alpha$ функций $x_{2}(\alpha )$, $y_{2}(\alpha )$ используется со знаком плюс, то получается самонепересекающаяся петля, если со знаком минус – самопересекающаяся. Внешне самонепересекающиеся и самопересекающиеся петли друг от друга не отличаются. Типы центральной и внешних петель могут быть различными. На Рис. 14а показана тройная гладкая самонепересекающаяся петля.

Тройные самонепересекающиеся и самопересекающиеся кусочно-линейные петли получаются из формул (38) заменой $\pi$ на $T/2$ ($\alpha =0\dots T$). На Рис. 14б показана тройная кусочно-линейная самонепересекающаяся петля.

Петли с усами произвольно большой длины

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.15.png

Рис. 15. Симуляция одинарной Классической (а) гладкой, (б) гибридной петли с длинными усами с помощью тройной самонепересекающейся петли гистерезиса. Усы – внешняя пара нерасщеплённых петель типа Лист (а) гладких, (б) кусочно-линейных

Тройные петли гистерезиса (38) удобно применять, в тех случаях, когда требуется получить одинарные гладкие или одинарные гибридные петли гистерезиса с длинными усами. Длинные усы в модели (1) можно получить, увеличивая степень $m$, однако одновременно с этим происходит значительное изменение кривизны петли. На Рис. 15а показана симуляция одинарной гладкой петли наклонная Классическая с длинными усами с помощью тройной самонепересекающейся гладкой петли (38).Тройная петля состоит из центральной наклонной Классической петли и усов, образованных из пары внешних нерасщеплённых петель типа Лист, ориентированных под углом $\gamma _{2}=\arctan(b_{2y}/b_{2x})$.

Для получения гибридной Классической петли с усами используются следующие уравнения ($\alpha =0\dots T$)

${\begin{array}{lcl}{\overset {\equiv }{x}}(\alpha )=(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -{\frac {T}{2}}))x_{1}\left(3\alpha -{\frac {3T}{8}}\right)\\[0pt]+(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -{\frac {T}{2}})-1)\left[x_{2}\left(3\alpha -{\frac {T}{4}}\right)-(b_{1x}+b_{2x})\operatorname {sgn} ({\frac {T}{2}}-\alpha )\right],\\[0pt]{\overset {\equiv }{y}}(\alpha )=(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -{\frac {T}{2}}))y_{1}\left(3\alpha -{\frac {3T}{8}}\right)\\[0pt]+(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -{\frac {T}{2}})-1)\left[y_{2}\left(3\alpha -{\frac {T}{4}}\right)-(b_{1y}+b_{2y})\operatorname {sgn} ({\frac {T}{2}}-\alpha )\right].\end{array}}$ (40)

На Рис. 15б показан пример построения из трёх петель наклонной гибридной Классической петли с усами. Петля состоит из центральной наклонной гибридной Классической петли без усов и усов, образованных из пары внешних нерасщеплённых кусочно-линейных петель Люфт с Усилением без Усов.

Сжатие с перехлёстом

Файл:Р. В. Лапшин, Модель петли гистерезиса, Рис.16.png

Рис. 16. Тройная гладкая самопересекающаяся петля гистерезиса Классического типа, образованная в результате “сжатия” фазовым сдвигом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_2}

Тройные самопересекающиеся петли образуются путем задания отрицательного фазового сдвига Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_2} (или положительного Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\alpha_3} ), настолько сильно “сжимающего” петлю, что возникает перехлёст. Пример тройной петли Классического типа, полученной данным способом показан на Рис. 16.

См. также

• Петля гистерезиса
• Параллелограмм
• Ромб
• Прямоугольник
• Квадрат
• Шестиугольник
• Восьмиугольник
• Биномиальные тождества Лапшина
• Кривая Крест
• Кривая Свастика

Ссылки

• Hysteresis loop, Readable Mathcad 2001i worksheets, R. V. Lapshin, Supplementary material (к статье 2), ver. 03.01.2020
• Hysteresis loop, Mathcad 2001i worksheets, R. V. Lapshin, Supplementary material (к статье 2), ver. 03.01.2020
• Package Hysteresis, R programming language, S. Maynes, F. Yang, A. Parkhurst, Tools for Modeling Rate-Dependent Hysteretic Processes and Ellipses, 2013