Петля гистерезиса (модель Лапшина)

Рис. 1. Петли гистерезиса типа Лист ($n=1$), Месяц (Бумеранг, $n=2$) и Классическая ($n=3$). Площадь всех трёх петель одинаковая

Модель петли гистерезиса Лапшина — модель петли гистерезиса, предложенная Лапшиным.

Способна аппроксимировать большинство из известных типов статических симметричных петель гистерезиса, встречающихся на практике.

Общая информация

Модель позволяет строить гладкие, кусочно-линейные, гибридные, частные, зеркально-отражённые, обратные, реверсивные, двойные и тройные петли гистерезиса. Погрешность аппроксимации петли гистерезиса, как правило, не превышает 1 %.

В модели Лапшина семейство петель гистерезиса описывается с помощью следующих параметрических уравнений

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )=a\cos ^{m}\alpha +b_{x}\sin ^{n}\alpha ,\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\sin \alpha ,\end{array}}$ (1)

где: $\alpha$ — действительный параметр ($\alpha =0\dots 2\pi$); $a$ — $x$-координата точки расщепления (см. Рис. 1); $b_{x}$, $b_{y}$ — координаты точки насыщения; $m$ — положительное целое нечётное число ($m=1,3,5,\dots$), определяющее кривизну петли гистерезиса; $n$ — положительное целое число, определяющее тип петли гистерезиса и её кривизну. При $n=1$ возникает петля типа Лист, при $n=2,4,6,\dots$ — петля типа Месяц (Бумеранг), при $n=3,5,7,\dots$ — петля типа Классическая.

Гладкие петли гистерезиса

Представление в виде суммы нерасщеплённой петли и кривой расщепления

Петлю гистерезиса (1) всегда можно представить в виде суммы двух параметрических кривых

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )=x_{1}(\alpha )+x_{2}(\alpha ),\\[0pt]y(\alpha )=y_{1}(\alpha )+y_{2}(\alpha ),\end{array}}$ (2)

где $x_{1}(\alpha )=b_{x}\sin ^{n}\alpha$, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1(\alpha)=b_y\sin\alpha} – нерасщеплённая петля; $x_{2}(\alpha )=a\cos ^{m}\alpha$, $y_{2}(\alpha )=0$ – кривая расщепления.

Представление в виде частотного спектра

Порождающая функция $x(\alpha )$ легко раскладывается в ряд Фурье

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )=\displaystyle \sum _{k=1}^{l}\left(A_{k}\cos(k\alpha )+B_{k}\sin(k\alpha )\right),\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\sin \alpha ,\end{array}}$ (3)

где коэффициенты Фурье $A_{k}$, $B_{k}$ для нечётных $n$ определяются по алгебраическим формулам

${\begin{array}{lcl}A_{k}=\displaystyle {\frac {a}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-k}{2}},\\[0pt]B_{k}=(-1)^{\left\lfloor {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor }\displaystyle {\frac {b_{x}}{2^{n-1}}}C_{n}^{\frac {n-k}{2}},\end{array}}$ (4)

где $C_{l}^{k}$ – биномиальный коэффициент ($k$, $l$ – целые положительные числа); $\textstyle C_{l}^{k}=l!/[k!(l-k)!]$, если $0\leq k\leq l$, иначе $C_{l}^{k}=0$ (также $C_{l}^{k}=0$, если $k$ – действительное число).

При нечётных $n$ амплитуда постоянной составляющей $A_{0}$ ($k=0$) и амплитуды $A_{k}$ и $B_{k}$ всех чётных гармоник ($k=2,4,6,\dots$) в (3) равны нулю. Величина $l$ задаётся равной наибольшей из степеней $m$ и $n$. Функция floor в выражении для $B_{k}$ – необязательна, она используется только для того, чтобы избежать появления комплексных чисел при чётных $k$.

Располагая коэффициентами Фурье $A_{k}$, $B_{k}$, порождающую функцию $x(\alpha )$ можно также представить в виде

$x(\alpha )=\displaystyle \sum _{k=1}^{l}Am_{k}\cos(k\alpha -\phi _{k}),$ (5)

где амплитуды $Am_{k}$ и фазы $\phi _{k}$ гармоник определяются по формулам

${\begin{array}{lcl}Am_{k}={\sqrt {A_{k}^{2}+B_{k}^{2}}}={\sqrt {\left(\displaystyle {\frac {a}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-k}{2}}\right)^{2}+\left(\displaystyle {\frac {b_{x}}{2^{n-1}}}C_{n}^{\frac {n-k}{2}}\right)^{2}}},\\[0pt]\tan \phi _{k}=\displaystyle {\frac {B_{k}}{A_{k}}}=(-1)^{\left\lfloor {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor }2^{m-n}\displaystyle {\frac {C_{n}^{\frac {n-k}{2}}b_{x}}{C_{m}^{\frac {m-k}{2}}a}}.\end{array}}$ (6)

Представление порождающей функции $x(\alpha )$ в виде частотного спектра (5) позволяет синтезировать петли гистерезиса требуемой формы, наклона и кривизны путём изменения амплитуд и фаз гармонических составляющих и путём добавления/исключения гармонических составляющих с определёнными значениями амплитуд и фаз.

Наклонение петли поворотом системы координат

Необходимый наклон петли на угол $\theta$ в точке расщепления $a$ устанавливается с помощью следующих преобразований

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha )+\sin \theta (b_{x}\sin \theta +b_{y}\cos \theta )(\sin \alpha -\sin ^{n}\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha )+\sin \theta (b_{x}\cos \theta -b_{y}\sin \theta )(\sin \alpha -\sin ^{n}\alpha ).\end{array}}$ (7)

Площадь петли

Площадь петли (7) вычисляется по формуле

$S={\frac {\pi a}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-1}{2}}\left\{\sin \theta (b_{x}\cos \theta -b_{y}\sin \theta )\left[1-(m+1)\prod _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2k+1}{m+n-2k}}\right]+b_{y}\right\}.$ (8)

Фазовые сдвиги

Рис. 2. Действие фазовых сдвигов на петлю гистерезиса Классическая: (а) наклонение с помощью фазового сдвига $\Delta \alpha _{1}$, плавное изменение кривизны с помощью фазового сдвига (б) $\Delta \alpha _{2}$, (в) $\Delta \alpha _{3}$

Фазовые сдвиги $\Delta \alpha _{1}$, $\Delta \alpha _{2}$, $\Delta \alpha _{3}$ позволяет плавно наклонять петлю гистерезиса в точке расщепления $a$ на требуемый угол $\theta$, а также плавно изменять кривизну петли

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )={\hat {a}}\cos ^{m}(\alpha +\Delta \alpha _{1})+{\hat {b}}_{x}\sin ^{n}(\alpha +\Delta \alpha _{2}),\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\sin(\alpha +\Delta \alpha _{3}),\end{array}}$ (9)

где ${\hat {a}}$, ${\hat {b}}_{x}$ – скорректированные параметры для $a$, $b_{x}$, соответственно.

Скорректированные параметры ${\hat {a}}$, ${\hat {b}}_{x}$ находятся по формулам

${\begin{array}{lcl}{\hat {a}}=\displaystyle {\frac {a\cos ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})-b_{x}\sin ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}{\sin ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\sin ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})+\cos ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\cos ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}},\\[0pt]{\hat {b}}_{x}=\displaystyle {\frac {a\sin ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})+b_{x}\cos ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})}{\sin ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\sin ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})+\cos ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\cos ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}}.\end{array}}$ (10)

Фазовый сдвиг $\Delta \alpha _{1}$ требуемый для наклонения петли в точке расщепления $a$ ($\alpha =0$) на заданный угол $\theta$ рассчитывается по формуле

$\Delta \alpha _{1}=-\arctan {\frac {b_{y}\tan \theta }{ma}}.$ (11)

На Рис. 2 показано влияние фазовых сдвигов $\Delta \alpha$ на петлю гистерезиса Классическая.

Порождающая функция $x(\alpha )$ в (9) также может быть представлена в виде (3) и (5). Коэффициенты Фурье $A_{k}$, $B_{k}$ в этом случае определяются по формулам

${\begin{array}{lcl}A_{k}=\displaystyle {\frac {\hat {a}}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-k}{2}}\cos(k\Delta \alpha _{1})+(-1)^{\left\lfloor {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor }\displaystyle {\frac {{\hat {b}}_{x}}{2^{n-1}}}C_{n}^{\frac {n-k}{2}}\sin(k\Delta \alpha _{2}),\\[0pt]B_{k}=\displaystyle {\frac {-{\hat {a}}}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-k}{2}}\sin(k\Delta \alpha _{1})+(-1)^{\left\lfloor {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor }\displaystyle {\frac {{\hat {b}}_{x}}{2^{n-1}}}C_{n}^{\frac {n-k}{2}}\cos(k\Delta \alpha _{2}).\end{array}}$ (12)

Площадь петли

Площадь петли (9) вычисляется по формуле

${\begin{array}{lcl}S=\left[\displaystyle {\frac {\hat {a}}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-1}{2}}\cos(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})+\displaystyle {\frac {{\hat {b}}_{x}}{2^{n-1}}}C_{n}^{\frac {n-1}{2}}\sin(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})\right]\pi b_{y}\\[0pt]=\displaystyle {\frac {Am_{1}(\cos \Delta \alpha _{3}-\tan \phi _{1}\sin \Delta \alpha _{3})}{\sqrt {\tan ^{2}\phi _{1}+1}}}\pi b_{y}=(A_{1}\cos \Delta \alpha _{3}-B_{1}\sin \Delta \alpha _{3})\pi b_{y}.\end{array}}$ (13)

Подставляя в (13) нулевые фазовые сдвиги $\Delta \alpha _{1}=\Delta \alpha _{2}=\Delta \alpha _{3}=0$, получаем формулу для вычисления площади петли (1)

$S=\displaystyle {\frac {1}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-1}{2}}\pi ab_{y}=\displaystyle {\frac {\pi Am_{1}b_{y}}{\sqrt {\tan ^{2}\phi _{1}+1}}}=\pi A_{1}b_{y}.$ (14)

Наклонение и искривление петли перекосом системы координат

Рис. 3. Наклонение петли гистерезиса Классическая путём перекоса системы координат на угол $\theta$ в направлении оси $x$. Площадь всех петель одна и та же при любых углах перекоса $\theta$

Рис. 4. Изменение кривизны петли гистерезиса Классическая путём перекоса системы координат на угол $\kappa$ в направлении оси $y$. Наклонение петли в точке расщепления на угол (а) $\theta =15^{\circ }$, (б) $\theta =-15^{\circ }$. Петли, наклонённые на любой угол $\theta$, у которых все остальные параметры одни и те же, имеют одинаковые площади

Петли гистерезиса можно наклонять путём перекоса системы координат на угол $\theta$ в направлении оси $x$ с помощью следующего преобразования (см. Рис. 3)

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha )+b_{y}\tan \theta (\sin \alpha -\sin ^{n}\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha ).\end{array}}$ (15)

Дополнительный перекос системы координат на угол $\kappa$ в направлении оси $y$

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha )+\tan \theta (b_{x}\tan \kappa +b_{y})(\sin \alpha -\sin ^{n}\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha )+b_{x}\tan \kappa (\sin \alpha -\sin ^{n}\alpha ),\end{array}}$ (16) позволяет плавно изменять кривизну петли (см. Рис. 4).

Площадь петли

Площадь петли (16) вычисляется по формуле

$S={\frac {\pi a}{2^{m-1}}}C_{m}^{\frac {m-1}{2}}\left\{b_{x}\tan \kappa \left[1-(m+1)\prod _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2k+1}{m+n-2k}}\right]+b_{y}\right\}.$ (17)

Для минимизации погрешности аппроксимирующую петлю рекомендуется проводить, используя метод наименьших квадратов.

Кусочно-линейные и гибридные петли гистерезиса

Петли на трапецеидальных импульсах

Рис. 5. Кусочно-линейная петля гистерезиса Лист (Люфт без Усов, $n=1$), гибридный Месяц (гибридный Бумеранг, $n=2$) и гибридная Классическая ($n=3$), построенные на трапецеидальных импульсах. Площадь всех трёх петель одинаковая

Рис. 6. Кусочно-линейные петли гистерезиса с усилением/ослаблением $\gamma$: (а) Люфт-Реле-Люфт, (б) Люфт-Люфт, (в) Люфт-Реле, построенные на трапецеидальных импульсах с использованием фазовых сдвигов

Рис. 7. Кусочно-линейные петли гистерезиса: (а) Люфт с Усилением без Усов (параллелограммная, билинейная, упругопластическая петля), (б) Люфт с Ослаблением без Усов, (в) Люфт без Усов, (г) Неидеальное Реле с Усилением без Усов, (д) Неидеальное Реле с Ослаблением без Усов, (е) Неидеальное Реле без Усов (прямоугольная петля), построенные на трапецеидальных импульсах

Рис. 8. Гибридные Классические петли гистерезиса без усов с заданным наклоном $\beta =\pi /2-\theta$ в точке расщепления. Петли построены на трапецеидальных импульсах. Площадь всех петель одна и та же при любых $\theta$

Рис. 9. Гибридные Классические петли гистерезиса без усов с заданным наклоном $\beta =\pi /2-\theta$, усилением/ослаблением $\gamma$ и кривизной $\kappa$. (а) Разные усиления $\gamma$ при фиксированных $\beta$ и $\kappa$, (б) разные кривизны $\kappa$ при фиксированных $\beta$ и $\gamma$. Петли построены на трапецеидальных импульсах

Заменяя синусы и косинусы в порождающих функциях $x(\alpha )$ и $y(\alpha )$ модели (1) на трапецеидальные импульсы единичной амплитуды $\operatorname {trp_{s}}$ и $\operatorname {trp_{c}}$, соответственно, получаем уравнения кусочно-линейных петель гистерезиса, построенные на трапецеидальных импульсах

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )=a\operatorname {trp_{c}} ^{m}\alpha +(b_{x}-a)\operatorname {trp_{s}} ^{n}\alpha ,\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\operatorname {trp_{s}} \alpha ,\end{array}}$ (18))

где $\alpha =0\dots T$; $T$ – период трапецеидальных импульсов.

Трапецеидальные импульсы $\operatorname {trp}$ определяются следующим образом

${\begin{array}{lcl}\operatorname {trp_{s}} \alpha =\displaystyle \sum _{i}\left[\displaystyle {\frac {4}{D-d}}\left(\alpha -i{\frac {T}{2}}\right)(-1)^{i}\operatorname {rect_{1}} (\alpha ,i)+(-1)^{i}\operatorname {rect_{2}} (\alpha ,i)\right],\\[0pt]\operatorname {trp_{c}} \alpha =\operatorname {trp_{s}} (\alpha +{\frac {T}{4}}),\end{array}}$ (19)

где $d$ и $D$ – верхнее и нижнее основания трапецеидальных импульсов, соответственно ($D=3d$, $T=d+D=4d$); $\operatorname {rect_{1}}$ и $\operatorname {rect_{2}}$ – прямоугольные импульсы.

Прямоугольные импульсы $\operatorname {rect_{1}}$, $\operatorname {rect_{2}}$, в свою очередь, определяются через функцию ступеньки $\operatorname {H} (\alpha )$ (функцию Хевисайда)

${\begin{array}{lcl}\operatorname {rect_{1}} (\alpha ,i)=\operatorname {H} \left(\alpha +{\frac {D-d}{4}}-i{\frac {T}{2}}\right)-\operatorname {H} \left(\alpha -{\frac {D-d}{4}}-i{\frac {T}{2}}\right),\\[0pt]\operatorname {rect_{2}} (\alpha ,i)=\operatorname {H} \left(\alpha -{\frac {D-d}{4}}-i{\frac {T}{2}}\right)-\operatorname {H} \left(\alpha -{\frac {D-d}{4}}-d-i{\frac {T}{2}}\right).\end{array}}$ (20)

На Рис. 5 изображены петли трёх типов: Лист (Люфт без Усов), Месяц (Бумеранг) и Классическая, построенные согласно формул (18). Петля Лист является кусочно-линейной. Петли Месяц и Классическая являются гибридными – в них прямолинейные участки сочетаются с криволинейными.

С учётом фазовых сдвигов $\Delta \alpha _{1}$, $\Delta \alpha _{2}$, $\Delta \alpha _{3}$ уравнения (18) приобретают вид

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )={\hat {a}}\operatorname {trp_{c}} ^{m}(\alpha +\Delta \alpha _{1})+{\hat {b}}_{x}\operatorname {trp_{s}} ^{n}(\alpha +\Delta \alpha _{2}),\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\operatorname {trp_{s}} (\alpha +\Delta \alpha _{3}).\end{array}}$ (21)

Скорректированные параметры ${\hat {a}}$ и ${\hat {b}}_{x}$ определяются с помощью следующих формул

${\begin{array}{lcl}{\hat {a}}=\displaystyle {\frac {a\operatorname {trp_{s}} ^{n}(\alpha _{b}+\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})-b_{x}\operatorname {trp_{s}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}{\operatorname {trp_{c}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\operatorname {trp_{s}} ^{n}(\alpha _{b}+\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})-\operatorname {trp_{c}} ^{m}(\alpha _{b}+\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\operatorname {trp_{s}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}},\\[0pt]{\hat {b}}_{x}=\displaystyle {\frac {b_{x}\operatorname {trp_{c}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})-a\operatorname {trp_{c}} ^{m}(\alpha _{b}+\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})}{\operatorname {trp_{c}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\operatorname {trp_{s}} ^{n}(\alpha _{b}+\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})-\operatorname {trp_{c}} ^{m}(\alpha _{b}+\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\operatorname {trp_{s}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}},\end{array}}$ (22)

где $\alpha _{b}$ равно $T/8-\Delta \alpha _{1}+\Delta \alpha _{3}$, $T/8-\Delta \alpha _{1}$, $3T/8-\Delta \alpha _{2}+\Delta \alpha _{3}$ и другим значениям в зависимости от используемых диапазонов фазовых сдвигов $\Delta \alpha _{1}$, $\Delta \alpha _{2}$, $\Delta \alpha _{3}$.

Чтобы получить кусочно-линейные петли с усилением/ослаблением $\gamma$, добавим к (21) дополнительный член (кривую), отвечающий за усиление/ослабление ($m=n=1$)

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha )+\tan \gamma \left[x(\alpha )-b_{x}\operatorname {trp_{s}} (\alpha +\Delta \alpha _{3})\right].\end{array}}$ (23)

На Рис. 6 показаны петли с усилением ($\gamma >0$) и с ослаблением (отрицательным усилением $\gamma <0$), построенные по уравнениям (23).

Безусые петли Люфт и Неидеальное Реле с усилением/ослаблением и без него (см. Рис. 7) строятся с помощью следующих уравнений

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=\displaystyle {\frac {a\tan \beta \operatorname {trp_{c}} \alpha +(b_{y}-b_{x}\tan \gamma )\operatorname {trp_{s}} \alpha }{\tan \beta -\tan \gamma }},\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=\tan \beta ({\bar {x}}(\alpha )-a\operatorname {trp_{c}} \alpha ),\end{array}}$ (24)

где параметры петли $a$, $b_{x}$, $b_{y}$, $\beta$ связаны между собой соотношением: $\tan \beta =b_{y}/(b_{x}-a)$.

Гибридные Классические петли без усов с заданным наклоном $\beta =\pi /2-\theta$ в точке расщепления (см. Рис. 8) строятся с помощью следующего преобразования ($m=1$, $\Delta \alpha _{1}=\Delta \alpha _{2}=\Delta \alpha _{3}=0$)

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha )+b_{y}\sin \theta (\operatorname {trp_{s}} \alpha -\operatorname {trp_{s}} ^{n}\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha ).\end{array}}$ (25)

Гибридные Классические петли без усов, имеющие заданный наклон $\beta$ в точке расщепления, заданный наклон (усиление/ослабление) $\gamma$ прямолинейного участка, требуемую кривизну $\kappa$ криволинейного участка (см. Рис. 9), строятся с помощью следующего преобразования ($m=1$, $\Delta \alpha _{1}=\Delta \alpha _{2}=\Delta \alpha _{3}=0$)

${\begin{array}{lcl}{\bar {x}}(\alpha )=x(\alpha )+\tan \theta \left[(b_{x}-a)\tan \kappa -b_{x}\tan \gamma +b_{y}\right](\operatorname {trp_{s}} \alpha -\operatorname {trp_{s}} ^{n}\alpha ),\\[0pt]{\bar {y}}(\alpha )=y(\alpha )+\left[(b_{x}-a)\tan \kappa -b_{x}\tan \gamma \right](\operatorname {trp_{s}} \alpha -\operatorname {trp_{s}} ^{n}\alpha )+a\tan \gamma (\operatorname {trp_{c}} \alpha \operatorname {trp_{s}} ^{k}\alpha -\operatorname {trp_{s}} ^{n}\alpha ),\end{array}}$ (26) где $k=2,4,\dots$ – дополнительный параметр, управляющий кривизной петли.

Площадь петли

Площадь петель (18) и (25) вычисляется по формуле

$S=4ab_{y}.$ (27)

Поскольку значения параметра $\alpha$ во всех угловых точках кусочно-линейных петель известны, то известны и декартовы координаты этих точек. Следовательно, площадь петель-многоугольников (см. Рис. 6), построенных по уравнениям (21), (23), может быть вычислена по формуле площади многоугольника, заданного координатами своих вершин.

Площади простейших кусочно-линейных петель (24), имеющих форму параллелограмма (см. Рис. 7), определяются по формуле

$S=4a\left[{\frac {(a-b_{x})\tan \gamma +b_{y}}{\tan \beta -\tan \gamma }}\tan \beta -{\frac {a\sin \beta \sin \gamma }{\sin(\beta -\gamma )}}\right].$ (28)

Площадь гибридной Классической петли с ненулевым усилением/ослаблением (26) вычисляется по формуле

$S=4a\left\{\left[(b_{x}-a)\tan \kappa -b_{x}\tan \gamma +b_{y}\right]\left[{\frac {k(n-1)}{(k+1)(n+k)}}\tan \theta \tan \gamma +1\right]+(b_{x}-a)\left({\frac {k}{n+k}}\tan \gamma -\tan \kappa \right)\right\}.$ (29)

Петли на треугольных импульсах

Рис. 10. Кусочно-линейная петля Лист (двухсегментная петля, Люфт без Усов) при различных значениях фазового сдвига $\Delta \alpha _{1}$, построенная на треугольных импульсах

Рис. 11. Кусочно-линейные петли гистерезиса: (а) Люфт с Усилением, (б) Люфт с Усилением без Усов (параллелограммная петля), (в) Люфт с Ослаблением, (г) Люфт с Ослаблением без Усов, (д) Люфт, (е) Люфт без Усов, (ё) Неидеальное Реле с Усилением, (ж) Неидеальное Реле с Усилением без Усов, (з) Неидеальное Реле с Ослаблением, (и) Неидеальное Реле с Ослаблением без Усов, (й) Неидеальное Реле (триггер Шмидта), (к) Неидеальное Реле без Усов (прямоугольная петля), построенные на треугольных импульсах

Помимо трапецеидальных импульсов $\operatorname {trp}$ в формулах (9) могут использоваться треугольные импульсы $\operatorname {tri}$, которые являются частными случаями трапецеидальных ($d=0$, $T=D$)

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )={\hat {a}}\operatorname {tri_{c}} ^{m}(\alpha +\Delta \alpha _{1})+{\hat {b}}_{x}\operatorname {tri_{s}} ^{n}(\alpha +\Delta \alpha _{2}),\\[0pt]y(\alpha )=b_{y}\operatorname {tri_{s}} (\alpha +\Delta \alpha _{3}).\end{array}}$ (30)

Треугольные импульсы $\operatorname {tri}$ определяются следующим образом

${\begin{array}{lcl}\operatorname {tri_{s}} \alpha =\displaystyle \sum _{i}\left[\displaystyle {\frac {4}{T}}\left(\alpha -i{\frac {T}{2}}\right)(-1)^{i}\operatorname {rect} (\alpha ,i)\right],\\[0pt]\operatorname {tri_{c}} \alpha =\operatorname {tri_{s}} (\alpha +{\frac {T}{4}}),\end{array}}$ (31) где $\operatorname {rect}$ – прямоугольные импульсы.

Прямоугольные импульсы $\operatorname {rect}$ определяются через функцию ступеньки $\operatorname {H} (\alpha )$

$\operatorname {rect} (\alpha ,i)=\textstyle \operatorname {H} \left(\alpha +{\frac {T}{4}}-i{\frac {T}{2}}\right)-\operatorname {H} \left(\alpha -{\frac {T}{4}}-i{\frac {T}{2}}\right).$ (32)

Скорректированные параметры ${\hat {a}}$, ${\hat {b}}_{x}$ находятся по формулам

${\begin{array}{lcl}{\hat {a}}=\displaystyle {\frac {a\operatorname {tri_{c}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})-b_{x}\operatorname {tri_{s}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}{\operatorname {tri_{s}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\operatorname {tri_{s}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})+\operatorname {tri_{c}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\operatorname {tri_{c}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}},\\[0pt]{\hat {b}}_{x}=\displaystyle {\frac {a\operatorname {tri_{s}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})+b_{x}\operatorname {tri_{c}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})}{\operatorname {tri_{s}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\operatorname {tri_{s}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})+\operatorname {tri_{c}} ^{m}(\Delta \alpha _{1}-\Delta \alpha _{3})\operatorname {tri_{c}} ^{n}(\Delta \alpha _{2}-\Delta \alpha _{3})}}.\end{array}}$ (33)

В качестве примера на Рис. 10 представлена кусочно-линейная петля Лист ($m=n=1$), построенная по формулам (30) при различных значениях положительного фазового сдвига $\Delta \alpha _{1}$ ($\Delta \alpha _{2}=\Delta \alpha _{3}=0$).

Общее выражение, описывающее кусочно-линейную петлю гистерезиса Люфт с Усилением (см. Рис. 11а), выглядит следующим образом

${\begin{array}{lcl}x(\alpha )=b_{x}\operatorname {tri_{s}} \alpha ,\\[0pt]y(\alpha )=(b_{y}-b_{x}\tan \gamma )\operatorname {trp_{s}} (\alpha -{\frac {\alpha _{a}\tan \beta }{\tan \beta -\tan \gamma }})+b_{x}\tan \gamma \operatorname {tri_{s}} \alpha ,\end{array}}$ (34)

где $\alpha _{a}=aT/(4b_{x})$ – значение параметра $\alpha$ в точке расщепления $a$.

Верхнее основание $d$ трапецеидальных импульсов $\operatorname {trp_{s}}$ в (34) определяется по формуле

$d={\frac {T(b_{x}\tan \beta -b_{y})}{2b_{x}(\tan \beta -\tan \gamma )}},$ (35) а нижнее основание $D$ по формуле $D=T-d$.

Кусочно-линейная петля (34) построена на комбинации треугольных и трапецеидальных импульсов. Уравнения (34) являются универсальными, поскольку позволяют получить весь набор кусочно-линейных петель Люфт и Реле, показанных на Рис. 11. Площади кусочно-линейных петель (34) определяются по формуле (28).

Двойные петли гистерезиса

Рис. 12. Двойная (а) гладкая, (б) кусочно-линейная петля гистерезиса, образованная сцеплением в точке насыщения $b$ двух петель типа (а) Классическая, (б) Люфт с Усилением. В точке сцепления петлю можно сделать как самонепересекающейся, так и самопересекающейся

Уравнения двойной гладкой петли самонепересекающейся в точке начала координат (петля в форме 0) выглядят следующим образом ($\alpha =0\dots 2\pi$)

${\begin{array}{lcl}{\overset {=}{x}}(\alpha )=\displaystyle x\left(2\alpha -{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )-\Delta \alpha _{3}\right)+b_{x}\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )\\[0pt]=(2\operatorname {rect} \alpha -1)\left(\textstyle x\left(2\alpha -\Delta \alpha _{3}-{\frac {\pi }{2}}\right)+b_{x}\right),\\[0pt]{\overset {=}{y}}(\alpha )=\displaystyle y\left(2\alpha -{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )-\Delta \alpha _{3}\right)+b_{y}\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )\\[0pt]=(2\operatorname {rect} \alpha -1)\left(\textstyle y\left(2\alpha -\Delta \alpha _{3}-{\frac {\pi }{2}}\right)+b_{y}\right),\end{array}}$ (36)

где $\operatorname {sgn} \alpha =\alpha /|\alpha |$ – сигнум-функция; $\operatorname {rect} \alpha =\operatorname {H} (\alpha )-\operatorname {H} (\alpha -\pi )$ – прямоугольный импульс шириной $\pi$.

Двойная петля (36) образуется путём сцепления двух петель в точке насыщения $b$, где порождающая функция $y(\alpha )$ достигает максимума $b_{y}$. Согласно (36) движение по двойной петле начинается в точке (0, 0) и происходит против часовой стрелки сначала по верхней петле затем по нижней, движение заканчивается в точке (0, 0). Пример двойной гладкой самонепересекающейся петли показан на Рис. 12а.

Петля, при движении по которой происходит самопересечение в точке начала координат (петля в форме 8), строится по формулам ($\alpha =0\dots 2\pi$)

${\begin{array}{lcl}{\overset {=}{x}}(\alpha )=x\left(\left(2\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )-\Delta \alpha _{3}\right)+b_{x}\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )\\[0pt]=\operatorname {rect} \alpha \left(x\left(2\alpha -\Delta \alpha _{3}-{\frac {\pi }{2}}\right)+b_{x}\right)+(1-\operatorname {rect} \alpha )\left(x\left({\frac {\pi }{2}}-\Delta \alpha _{3}-2\alpha \right)-b_{x}\right),\\[0pt]{\overset {=}{y}}(\alpha )=y\left(\left(2\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )-\Delta \alpha _{3}\right)+b_{y}\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )\\[0pt]=\operatorname {rect} \alpha \left(y\left(2\alpha -\Delta \alpha _{3}-{\frac {\pi }{2}}\right)+b_{y}\right)+(1-\operatorname {rect} \alpha )\left(y\left({\frac {\pi }{2}}-\Delta \alpha _{3}-2\alpha \right)-b_{y}\right).\end{array}}$ (37)

Внешне петли (36) и (37) не отличаются друг от друга.

Двойные самонепересекающиеся и самопересекающиеся кусочно-линейные петли строятся по формулам (36) и (37), соответственно, в которых $\pi$ заменён на $T/2$ ($\alpha =0\dots T$). На Рис. 12б показан пример двойной кусочно-линейной самонепересекающейся петли.

Передавливание петли в точке начала координат

Рис. 13. Двойная самонепересекающаяся петля гистерезиса типа Пропеллер, образованная передавливанием петли в точке начала координат посредством нулевого расщепления $a$ и фазового сдвига $\Delta \alpha _{2}$

Двойные самонепересекающиеся петли типа Пропеллер можно образовывать “передавливанием” петли в точке начала координат (см. Рис. 13). В данном способе расщепление $a$ в формуле (9) задаётся равным нулю, а фазовый сдвиг $\Delta \alpha _{2}$ (или $\Delta \alpha _{3}$), устанавливается отличным от нуля. В таких петлях сдвиг $\Delta \alpha _{2}$ (или $\Delta \alpha _{3}$) выполняет функцию расщепления $a$.

Тройные петли гистерезиса

Рис. 14. Тройная (а) гладкая, (б) кусочно-линейная петля гистерезиса, образованная сцеплением в точках насыщения $b$ трёх петель типа (а) Классическая, (б) Люфт с Усилением. В точках сцепления петлю можно сделать как самонепересекающейся, так и самопересекающейся

Тройную петлю можно собрать из трёх петель – центральной и двух внешних. Тройные гладкие петли, сцепленные в точках насыщения $b$, строятся по формулам ($\alpha =0\dots 2\pi$)

${\begin{array}{lcl}{\overset {\equiv }{x}}(\alpha )=(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -\pi ))x_{1}\left(3\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)\\[0pt]+(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -\pi )-1)\left[x_{2}\left(\pm 3\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)-(b_{1x}+b_{2x})\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )\right],\\[0pt]{\overset {\equiv }{y}}(\alpha )=(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -\pi ))y_{1}\left(3\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)\\[0pt]+(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -\pi )-1)\left[y_{2}\left(\pm 3\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)-(b_{1y}+b_{2y})\operatorname {sgn} (\pi -\alpha )\right],\end{array}}$ (38)

где $x_{1}(\alpha )$, $y_{1}(\alpha )$ – уравнения центральной петли; $x_{2}(\alpha )$, $y_{2}(\alpha )$ – уравнения внешних петель; $b_{1x}$, $b_{1y}$ – координаты точки насыщения центральной петли; $b_{2x}$, $b_{2y}$ – координаты точек насыщения внешних петель; $\operatorname {rect} \alpha =\operatorname {H} (\alpha )-\operatorname {H} (\alpha -\pi /3)$ – прямоугольный импульс шириной $\pi /3$.

При сборке петель (38) обычно выполняется условие $\gamma _{1}=\gamma _{2}$, где $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$ – углы наклона касательных к нерасщеплённой ($a_{1}=0$) центральной петле и нерасщеплённым ($a_{2}=0$) внешним петлям, соответственно, в точке насыщения $b_{1}$. Углы наклона $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$ касательных определяются по формулам

${\begin{array}{lcl}\gamma _{1}=\displaystyle \arctan {\frac {b_{1y}}{n_{1}b_{1x}}},\\[0pt]\gamma _{2}=\displaystyle \arctan {\frac {b_{2y}}{n_{2}b_{2x}}}.\end{array}}$ (39)

Если в уравнениях (38) аргумент $3\alpha$ функций $x_{2}(\alpha )$, $y_{2}(\alpha )$ используется со знаком плюс, то получается самонепересекающаяся петля, если со знаком минус – самопересекающаяся. Внешне самонепересекающиеся и самопересекающиеся петли друг от друга не отличаются. Типы центральной и внешних петель могут быть различными. На Рис. 14а показана тройная гладкая самонепересекающаяся петля.

Тройные самонепересекающиеся и самопересекающиеся кусочно-линейные петли получаются из формул (38) заменой $\pi$ на $T/2$ ($\alpha =0\dots T$). На Рис. 14б показана тройная кусочно-линейная самонепересекающаяся петля.

Петли с усами произвольно большой длины

Рис. 15. Симуляция одинарной Классической (а) гладкой, (б) гибридной петли с длинными усами с помощью тройной самонепересекающейся петли гистерезиса. Усы – внешняя пара нерасщеплённых петель типа Лист (а) гладких, (б) кусочно-линейных

Тройные петли гистерезиса (38) удобно применять, в тех случаях, когда требуется получить одинарные гладкие или одинарные гибридные петли гистерезиса с длинными усами. Длинные усы в модели (1) можно получить, увеличивая степень $m$, однако одновременно с этим происходит значительное изменение кривизны петли. На Рис. 15а показана симуляция одинарной гладкой петли наклонная Классическая с длинными усами с помощью тройной самонепересекающейся гладкой петли (38).Тройная петля состоит из центральной наклонной Классической петли и усов, образованных из пары внешних нерасщеплённых петель типа Лист, ориентированных под углом $\gamma _{2}=\arctan(b_{2y}/b_{2x})$.

Для получения гибридной Классической петли с усами используются следующие уравнения ($\alpha =0\dots T$)

${\begin{array}{lcl}{\overset {\equiv }{x}}(\alpha )=(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -{\frac {T}{2}}))x_{1}\left(3\alpha -{\frac {3T}{8}}\right)\\[0pt]+(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -{\frac {T}{2}})-1)\left[x_{2}\left(3\alpha -{\frac {T}{4}}\right)-(b_{1x}+b_{2x})\operatorname {sgn} ({\frac {T}{2}}-\alpha )\right],\\[0pt]{\overset {\equiv }{y}}(\alpha )=(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -{\frac {T}{2}}))y_{1}\left(3\alpha -{\frac {3T}{8}}\right)\\[0pt]+(\operatorname {rect} \alpha +\operatorname {rect} (\alpha -{\frac {T}{2}})-1)\left[y_{2}\left(3\alpha -{\frac {T}{4}}\right)-(b_{1y}+b_{2y})\operatorname {sgn} ({\frac {T}{2}}-\alpha )\right].\end{array}}$ (40)

На Рис. 15б показан пример построения из трёх петель наклонной гибридной Классической петли с усами. Петля состоит из центральной наклонной гибридной Классической петли без усов и усов, образованных из пары внешних нерасщеплённых кусочно-линейных петель Люфт с Усилением без Усов.

Сжатие с перехлёстом

Рис. 16. Тройная гладкая самопересекающаяся петля гистерезиса Классического типа, образованная в результате “сжатия” фазовым сдвигом $\Delta \alpha _{2}$

Тройные самопересекающиеся петли образуются путем задания отрицательного фазового сдвига $\Delta \alpha _{2}$ (или положительного $\Delta \alpha _{3}$), настолько сильно “сжимающего” петлю, что возникает перехлёст. Пример тройной петли Классического типа, полученной данным способом показан на Рис. 16.

См. также

• Петля гистерезиса
• Параллелограмм
• Ромб
• Прямоугольник
• Квадрат
• Шестиугольник
• Восьмиугольник
• Биномиальные тождества Лапшина
• Кривая Крест
• Кривая Свастика

Ссылки

• Hysteresis loop, Readable Mathcad 2001i worksheets, R. V. Lapshin, Supplementary material (к статье 2), ver. 03.01.2020
• Hysteresis loop, Mathcad 2001i worksheets, R. V. Lapshin, Supplementary material (к статье 2), ver. 03.01.2020
• Package Hysteresis, R programming language, S. Maynes, F. Yang, A. Parkhurst, Tools for Modeling Rate-Dependent Hysteretic Processes and Ellipses, 2013