Площадь поверхности додекаэдра

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Додекаэдр
ПДОД01.JPG

Площадь поверхности додекаэдра — это число, характеризующее додекаэдр в единицах измерения площади.

[править] Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

Sпятиуг — площадь правильного пятиугольника (грани);

Vдод — объём додекаэдра;

Sдод — площадь поверхности додекаэдра.

[править] Формула

[math]S_\text{дод}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2 \Leftrightarrow S_\text{дод}= 12S_\text{пятиуг}, \ S_\text{пятиуг}=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{дод}=\frac{3V_\text{дод}}{r}, \ V_\text{дод}=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3, \ r=\frac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{дод}=2\sqrt{50-10\sqrt{5}}R^2, \ R=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{дод}=30\sqrt{130-58\sqrt{5}}r^2, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R[/math]

[править] Площадь других многогранников

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты