Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Площадь треугольника

Прямоугольный треугольник

Так как прямоугольный треугольник — это половина прямоугольника, то и его площадь находится, как половина произведения катетов. То есть, $S={\tfrac {1}{2}}ab.$

Данная формула была получена из основной формулы для треугольников:

$S_{\triangle ABC}={\dfrac {1}{2}}ab\sin \gamma$

В формуле имеется значение синуса угла между сторонами a и b.

Зная высоту и одну сторону треугольника, к которой проведена высота, можно воспользоваться следующей формулой:

$S_{\triangle ABC}={\dfrac {1}{2}}a\cdot h_{a}={\dfrac {1}{2}}b\cdot h_{b}={\dfrac {1}{2}}c\cdot h_{c}$

Для определения площади можно воспользоваться популярной формулой Герона. Для нахождения площади потребуется знать все три стороны и величину полупериметра:

$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p\cdot p_{a}\cdot p_{b}\cdot p_{c}}}={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}={1 \over 4}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}$

Если вокруг треугольника описана окружность, то для нахождения площади можно воспользоваться следующей формулой:

$S_{\triangle ABC}={\dfrac {abc}{4R}}$

Если же окружность наоборот вписана, то для нахождения площади необходимо найти произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$S_{\triangle ABC}=r\cdot p$

Площадь квадрата

У квадрата все стороны равны и диагонали также между собой равны.

Площадь квадрата находится, как квадрат его стороны или полуквадрат длины диагонали: Площадь $S$ квадрата равна

$S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \over 2}d^{2}$.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его двух смежных сторон:

$S=ab$

Площадь параллелограмма

Площадь параллело-грамма, выражение через высоту

Площадь любого параллелограмма можно найти по известной стороне и высоте или же по двум сторонам и углу между ними:

• Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

$S=bh$ , где $b$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне.

• Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:

$S=ab\sin \alpha ,$

где $a$ и $b$ — смежные стороны, $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Площадь трапеции

Для нахождения площади трапеции можно воспользоваться формулой Герона для трапеций:

$S={\dfrac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.$

или

$S={\dfrac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\dfrac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}$

, где $a<b$ — основания, $c$ и $d$ — боковые стороны трапеции.

Но есть и более простая формула для нахождения площади трапеции — по известным длинам оснований и высоте:

$S={\dfrac {(a+b)}{2}}h$

Площадь круга

Для нахождения площади круга следует знать либо значение радиуса, либо диаметра круга:

$S=\pi R^{2}$

Площадь сектора

Файл:Площадь сектора.jpg

Сектор круга закрашен жёлтым цветом

Для нахождения площади сектора, следует умножить радиус соответствующей окружности на длину дуги сектора. Длина дуги находится произведением радиуса на соответствующую радианную меру дуги:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = \frac{r \cdot L}{2} = \frac{r^2 \boldsymbol{\alpha}}{2} = \frac{\pi r^2 \theta}{\displaystyle{360^\circ}}} ,
где $\theta$ — центральный угол в градусах, ${\boldsymbol {\alpha }}$ — центральный угол в радианах, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} — длина дуги сектора.

Площадь сегмента

Сегмент круга закрашен зелёным цветом

Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле:

$S={\frac {1}{2}}R^{2}(\theta -\sin \theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\left({\frac {s}{R}}-\sin {\tfrac {s}{R}}\right).$

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Площадь_треугольника,_параллелограмма,_трапеции,_круга,_сектора» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».