Расстояние от точки до плоскости в трёхмерном пространстве

Видеоурок «Расстояние от точки до плоскости» // Математика от alwebra.com.ua [5:29]

§44 Расстояние от точки до плоскости // Мемория Высшая Математика [8:16]

Формула расстояния от точки до плоскости в координатной форме

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра к плоскости, опущенного из точки.

Обозначения

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {n}}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ — нормаль к плоскости;

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ — уравнение плоскости;

$d_{01}$ — расстояние от точки до плоскости.

Формулы

Векторная форма

Для точки и плоскости формула расстояния имеет вид:

$d_{01}={\frac {\left|\left({\bar {r}}_{0}\cdot {\bar {n}}_{1}\right)+D_{1}\right|}{\left|{\bar {n}}_{1}\right|}}$

Расстояние от точки до плоскости равно отношению модуля суммы скалярного произведения векторов (r₀ и n₁) и коэффициента D₁ к длине нормали (n₁). Геометрический смысл формулы: расстояние - это длина отклонения точки от плоскости.

Координатная форма

Формула расстояния от точки до плоскости в координатной форме имеет вид:

$d_{01}={\frac {\left|A_{1}x_{0}+B_{1}y_{0}+C_{1}z_{0}+D_{1}\right|}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}}}$

Пример

Даны точка и плоскость: $(-4;3;5)$ и $-x+2y-2z+9=0$ .

Найти расстояние между ними.

Решение.

Дана точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-4;3;5)\Rightarrow\bar r_0=(-4;3;5)}

Дана плоскость $-x+2y-2z+9=0\Rightarrow {\bar {n}}_{1}=(-1;2;-2),\ D_{1}=9$

$\left({\bar {r}}_{0}\cdot {\bar {n}}_{1}\right)=\left((-4;3;5)\cdot (-1;2;-2)\right)=(-4)\cdot (-1)+3\cdot 2+5\cdot (-2)=0$

$\left|{\bar {n}}_{1}\right|=\left|(-1;2;-2)\right|={\sqrt {(-1)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}={\sqrt {1+4+4}}={\sqrt {9}}=3$

$d_{01}={\frac {\left|\left({\bar {r}}_{0}\cdot {\bar {n}}_{1}\right)+D_{1}\right|}{\left|{\bar {n}}_{1}\right|}}={\frac {|0+9|}{3}}=3$

Другие формулы:

1. расстояние между точками;
2. расстояние между прямыми;
3. расстояние от точки до прямой;
4. расстояние от точки до плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970