Рациональные уравнения

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Attention.pngЭта статья в настоящее время активно дополняется.
Не вносите сюда изменений до тех пор, пока это объявление не будет убрано.
Шаблон добавлен участником Ксения Мулендеева 31 октября 2023. Последняя правка сделана участником Maid в 7:15, 12 ноября 2023 года.

Рациона́льные уравне́ния — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения, включая переменные. Обычно рациональные уравнения представлены или в виде дроби, где числитель и знаменатель представлены многочленами или целые, когда все переменные находятся в числителях[1].

История[править]

Диофант Александрийский

Некоторые алгебраические приёмы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Это было обусловлено потребностью решать практические задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера.

Немало свойств, правил, алгебраических приёмов знали учёные Древней Греции. Они выражали их в геометрической форме. Например, Евклид около 300 год до н. э. занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равные. В «Началах» решается задача о построении квадрата, равного любому данному многоугольнику. При этом Евклид использует самих площадей, а не числа, которые выражают эти площади. То, что люди получают с помощью алгебры, Евклид получал геометрическим путем. Извлечение квадратного корня из числа говорило для Евклида о построении стороны квадрата, площадь которого равна площади данного многоугольника. Со следами геометрической алгебры мы сталкиваемся и по сей день в терминах «квадрат» числа, «куб» числа.

Процесс избавления алгебры от геометрической формы и возникновение буквенной символики начался в III веке до н. э. в Древней Греции, в трудах Диофанта, и продлился в Индии и в средние века в арабских странах и в Европе. Только после того, как Виет, живший в годы с 1540 года по 1603 год, ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для обозначения известных величин и коэффициентов, после появления трудов Декарта, годы жизни которого 1596 год по 1650 год, Ньютона и других учёных этот долгий исторический этап был в основном завершён. Благодаря введению буквенных коэффициентов стало возможным изучение алгебраических уравнений в общем виде и использование общих формул[2].

Виды рациональных уравнений[править]

Целое (алгебраическое) рациональное уравнение[править]

Это уравнение вида Pn(x) = a0 xn + a1xn-1 + … + an-1x + an , a0 ≠ 0[3].

Дробно-рациональное уравнение[править]

Это уравнение, в котором присутствует дробь. При решении дробно — рациональных уравнений нужно быть внимательным при сокращении дробей, так как в этом случае можно получить посторонние корни[3].

Виды целых рациональных уравнений[править]

Линейные уравнения[править]

Уравнение обычно записывается в виде aх + b = 0, a ≠ 0 и имеет один корень x = -b/a[4].

Квадратные уравнения[править]

Уравнение записывается в виде ax2 + bx + c = 0.

Где коэффициенты a, b, c — любые действительные числа, причем a ≠ 0 . Коэффициенты a, b, c различают по названиям: а — первый, или старший, коэффициент; b — второй коэффициент, или коэффициент при х; с — свободный член[3].

Решение такого уравнения можно получить с помощью формулы[5]:

Решение квадратного уравнения

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых. Это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

Решение неполных квадратных уравнений:

1. Если уравнение имеет вид ax2 = 0 , то оно имеет один корень: x = 0.

2. Если уравнение имеет вид ax2 + bx = 0 (b ≠ 0), то используется метод разложения на множители: x(ax + b) = 0; значит, либо x = 0 , либо ax + b = 0.

В итоге получаем два корня: x1 = 0, x2 = -b/a.

3. Если уравнение имеет вид ax2 + c = 0, то его преобразуют к виду ax2 = -c и далее x2 = -c/a.

В случае, если -c/a < 0, уравнение x2 = -c/a не имеет действительных корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ax2 + c = 0).

В случае, когда -c/a > 0, уравнение x2 = -c/a (а значит, и уравнение ax2 + c = 0) имеет два корня: x1,2 = ±√-c/a[3].

Кубические уравнения[править]

Это уравнение третьей степени ax3 + bx2 + cx + d = 0[6].

Биквадратные уравнения[править]

Это уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0. Такие уравнения решаются путём замены x2 на y, применив её, получается уравнение вида ay2 + by + c = 0, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной[1].

Возвратные уравнения[править]

Это уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших. Для решения такого уравнения сначала делят его на x2:

  • ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0| ÷x2
  • ax2 + bx + c + b/x + a/x2 = 0
  • a(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c = 0

Затем заменяют (x + 1/x) на новую переменную, тогда (x2 + 1/x2) = y2 — 2, после подстановки получается квадратное уравнение:

a(y2 — 2) + by + c = 0. После этого находят корни уравнений x + 1/x = y1 и x + 1/x = y2.

Аналогичным методом решаются возвратные уравнения вида:

ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0

Корни уравнения вида ax4 + b = 0 находятся с помощью применения формул сокращённого умножения[1].

Другие алгебраические уравнения[править]

Нильс Хенрик Абель

Формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находить корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Нильс Абель в 1824 году, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удаётся легко решить, факторизуя их левую часть, то есть разлагая её на множители. Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Уильямом Горнером, Исааком Ньютоном и Карлом Греффе. Во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней[7].

Методы решения[править]

Для целых рациональных уравнений.

Если в задаче речь идёт о таком типе выражений, то следует воспользоваться стандартным алгоритмом действий:

  1. Перенести каждое слагаемое справа налево, чтобы уравнение осталось равным нулю. Для этого можно сложить или вычесть слагаемые с обеих сторон уравнения.
  2. Применить алгебраические преобразования, чтобы привести уравнение к виду линейного, квадратного, кубического или другого подходящего формата. Это может включать раскрытие скобок, сокращение подобных членов, перенос слагаемых на одну сторону уравнения и так далее.
  3. После приведения уравнения к подходящему формату, найти неизвестное. В случае линейного уравнения это может быть простое выражение, а для квадратного — применение формулы квадратного корня или метода дискриминанта.
  4. Проверить полученное решение подстановкой в исходное уравнение[8].

Для дробно — рациональных уравнений.

  1. Перенести все члены уравнения в одну часть.
  2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби p(x)/q(x).
  3. Решить уравнение p(x)=0.
  4. Для каждого корня уравнения р(х)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x) ≠ 0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и его включать не следует.
  5. Решить уравнение q(x) = 0.
  6. Проверить каждый корень решения q(x) = 0 и удостовериться, что соответствующий знаменатель p(x) не равен нулю.
  7. Если все корни являются корнями исходного уравнения и знаменатели не равны нулю, то эти корни являются корнями дробно-рационального уравнения.
  8. В случае, если есть посторонние корни или знаменатели равны нулю, следует исключить их из решения[3].

Примечания[править]

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Беляев Е. Н. Решение рациональных уравнений (2023-03-05). Проверено 3 ноября 2023.
  2. ↑ Бронникова Л. М. История математики. — Барнаул: ФГБОУ АлтГПУ, 2016. — ISBN 978-5-88210-810-5.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Фирер А. В., Яковлева Е. Н., Елисова А. П., Захарова Т. В. [https://lpi.sfukras.ru/files/elementarnaya_matematika._racionalnye_uravneniya_i_neravenstva_2019.pdf Элементарная математика. Рациональные уравнения и неравенства] / Игнатьева Н. К.. — Красноярск-Лесосибирск: ЛПИ-филиал СФУ, 2019. — 146 с. — ISBN 978-5-7638-4173-2.
  4. ↑ Линейные уравнения. Проверено 5 ноября 2023.
  5. ↑ Квадратные уравнения. Проверено 5 ноября 2023.
  6. ↑ Кубическое уравнение. Проверено 6 ноября 2023.
  7. ↑ Другие алгебраические уравнения. Проверено 5 ноября 2023.
  8. ↑ Беляев Е.Н. Алгоритм решения целых рациональных уравнений (05.03.2023). Проверено 3 ноября 2023.
Znanie.png Одним из источников этой статьи является статья в википроекте «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Рациональные уравнения», находящаяся по адресам:

«https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Рациональные_уравнения»

«https://znanierussia.ru/articles/Рациональные_уравнения».

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.
Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?»

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Рациональные_уравнения&oldid=1802682