Усовершенствованный метод Эйлера

Усовершенствованный метод Эйлера — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.

Описание метода

Суть усовершенствованного метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y = y(x) дифференциального уравнения вида y’ = f(x, y) с начальным условием (x₀; y₀).

Усовершенствованный метод Эйлера является методом 2-го порядка точности и называется модифицированным методом Эйлера.

Формулы

${\begin{cases}k_{1}=f(x_{n},y_{n})h\\k_{2}=f\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right)h\\\Delta y=k_{2}\\x_{n+1}=x_{n}+h\\y_{n+1}=y_{n}+\Delta y\end{cases}}$

• Заметим, что исправленный метод Эйлера также (как и усовершенствованный метод Эйлера) является методом 2-го порядка точности (называется метод предиктор-корректор).

Другие методы:

• метод Эйлера;
• исправленный метод Эйлера;
• усовершенствованный метод Эйлера;
• метод Адамса третьего порядка;
• метод Рунге-Кутты третьего порядка;
• классический метод Рунге-Кутты.

• Для решения систем дифференциальных уравнений используется обобщённый метод Рунге-Кутты.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.