Классический метод Рунге-Кутты

Классический метод Рунге-Кутты — численный метод получения решения дифференциального уравнения.

Описание метода

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y = y(x) дифференциального уравнения вида y’ = f(x, y) с начальным условием (x₀; y₀).

Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Формулы

${\begin{cases}k_{1}=f(x_{n},y_{n})h\\k_{2}=f\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right)h\\k_{3}=f\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{2}}{2}}\right)h\\k_{4}=f(x_{n}+h,y_{n}+k_{3})h\\\Delta y={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}\\x_{n+1}=x_{n}+h\\y_{n+1}=y_{n}+\Delta y\end{cases}}$

Правило Рунге

Для оценки точности расчёта решения y (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для y при шаге h/2) на практике можно применять правило Рунге:

$\left|y-y_{h/2}\right|<{\frac {\left|y_{h}-y_{h/2}\right|}{2^{m}-1}}$, где

y_h — значение решения y при шаге h,

y_h/2 — значение решения y при шаге h/2,

m — порядок точности формулы.

Условие применения правила Рунге строго задаётся следующим неравенством:

$2^{m}\left|{\frac {y_{h}-y_{h/2}}{y_{2h}-y_{h}}}\right|<0,1$, где

y_h — значение решения y при шаге h,

y_h/2 — значение решения y при шаге h/2,

y_2h — значение решения y при шаге 2h),

m — порядок точности формулы.

Правило Коллатца

При выборе шага h для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида y’=f(x, y) классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое правило Коллатца:

$\left|{\frac {k_{2}-k_{3}}{k_{1}-k_{2}}}\right|<0,03$, где

$k_{1}=f(x_{n},y_{n})h,\ k_{2}=f\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right)h,\ k_{3}=f\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{2}}{2}}\right)h$.

Формула Ричардсона

Более точным (по крайней мере на порядок выше, то есть с порядком точности m + 1) значением y (по сравнению со значением y_h/2) является значение y*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:

$y^{*}={\frac {2^{m}y_{h/2}-y_{h}}{2^{m}-1}}$, где

y_h — значение решения y при шаге h,

y_h/2 — значение решения y при шаге h/2,

m — порядок точности формулы.

Другие методы:

• метод Эйлера;
• исправленный метод Эйлера;
• усовершенствованный метод Эйлера;
• метод Адамса третьего порядка;
• метод Рунге-Кутты третьего порядка;
• классический метод Рунге-Кутты.

• Для решения систем дифференциальных уравнений используется обобщённый метод Рунге-Кутты.

См.также

• Метод Рунге-Кутты

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970