Классический метод Рунге-Кутты

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Классический метод Рунге-Кутты — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.

Содержание

[править] Описание метода

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y = y(x) дифференциального уравнения вида y’ = f(x, y) с начальным условием (x0; y0).

Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

[править] Формулы

[math]\begin{cases}k_1 = f(x_n,y_n)h \\ k_2 = f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2}\right)h \\ k_3 = f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2}\right)h \\ k_4 = f(x_n+h,y_n+k_3)h \\ \Delta y = \frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6} \\ x_{n+1}=x_n+h \\ y_{n+1}=y_n+ \Delta y\end{cases}[/math]

[править] Правило Рунге

Для оценки точности расчёта решения y (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для y при шаге h/2) на практике можно применять правило Рунге:

[math]\left|y-y_{h/2}\right| \lt \frac{\left|y_h-y_{h/2}\right|}{2^m-1}[/math], где

yh — значение решения y при шаге h,

yh/2 — значение решения y при шаге h/2,

m — порядок точности формулы.

Условие применения правила Рунге строго задаётся следующим неравенством:

[math]2^m\left|\frac{y_h-y_{h/2}}{y_{2h}-y_h}\right| \lt 0,1[/math], где

yh — значение решения y при шаге h,

yh/2 — значение решения y при шаге h/2,

y2h — значение решения y при шаге 2h),

m — порядок точности формулы.

[править] Правило Коллатца

При выборе шага h для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида y’=f(x, y) классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое правило Коллатца:

[math]\left|\frac{k_2-k_3}{k_1-k_2}\right| \lt 0,03[/math], где
[math]k_1=f(x_n,y_n)h, \ k_2=f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2}\right)h, \ k_3=f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2}\right)h[/math].

[править] Формула Ричардсона

Более точным (по крайней мере на порядок выше, то есть с порядком точности m + 1) значением y (по сравнению со значением yh/2) является значение y*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:

[math]y^*=\frac{2^my_{h/2}-y_h}{2^m-1}[/math], где

yh — значение решения y при шаге h,

yh/2 — значение решения y при шаге h/2,

m — порядок точности формулы.

[править] Другие методы

[править] Литература

  • Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты