Метод деления отрезка пополам

Численное решение уравнений, урок 2/5. Метод деления отрезка пополам // Вера Бобкова [4:55]

Деление отрезка пополам // Valery Volkov [4:35]

Деление отрезка пополам (метод дихотомии) — это численный метод нахождения (одного) решения x (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Описание метода

Суть метода деления отрезка пополам состоит в разбиении отрезка [a,b] (при условии f(a)f(b)<0) на два отрезка, определении знака функции f(x) в середине отрезка (a+b)/2 и выборе отрезка, на котором функция меняет знак и содержит решение.

Деление отрезка продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке, то есть f(a)·f(b)<0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: f(x), a, b, ε.

1. x =(a + b)/2
2. Если f(a)·f(x)<0, то b=x, иначе если f(x)·f(b)<0, то a=x.
3. Если |b−a|>2ε, то идти к 1.
4. x=(a+b)/2.

Выходные данные: x.

• Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
• Если f(x)=0, то x — точное решение.

Другие методы:

1. деление отрезка пополам;
2. комбинированный метод;
3. метод итераций;
4. метод касательных;
5. метод хорд;
6. универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.