Метод касательных
Метод касательных (метод Ньютона) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x) = 0.
Описание метода[править]
Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка [a; b] (при условии f(a)f(b) < 0) на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.
Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.
Метод касательных применим для решения уравнения вида f(x) = 0 на отрезке [a; b], если ни одна точка отрезка [a; b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x) ≠ 0 и f’’(x) ≠ 0.
Условие неподвижной точки для метода касательных f(x)f’’(x) < 0.
Условие начальной точки для метода касательных f(x)f’’(x) > 0.
Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b) < 0.
Далее применяем алгоритм решения.
Алгоритм решения[править]
Входные данные: f(x), f’(x), f’’(x), a, b, ε.
- Если f(a)f’’(a) > 0, то x = a, иначе если f(b)f’’(b) > 0, то x = b.
- Δx = f(x)/f’(x).
- x = x − Δx
- Если |Δx| > ε, то идти к 2.
Выходные данные: x.
Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x) = 0.
Если f(x) = 0, то x — точное решение.
Другие методы:[править]
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Литература[править]
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.