Метод касательных

Метод касательных [3:44]

Метод касательных (метод Ньютона) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода

Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка [a;b] (при условии f(a)f(b)<0) на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.

Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Метод касательных применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a;b], если ни одна точка отрезка [a; b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x)≠0 и f’’(x)≠0.

Условие неподвижной точки для метода касательных f(x)f’’(x)<0.

Условие начальной точки для метода касательных f(x)f’’(x)>0.

Сначала находим отрезок [a;b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: f(x), f’(x), f’’(x), a, b, ε.

1. Если f(a)f’’(a)>0, то x=a, иначе если f(b)f’’(b)>0, то x=b.
2. Δx=f(x)/f’(x).
3. x=x−Δx
4. Если |Δx|>ε, то идти к 2.

Выходные данные: x.

• Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
• Если f(x)=0, то x — точное решение.

Другие методы:

1. деление отрезка пополам;
2. комбинированный метод;
3. метод итераций;
4. метод касательных;
5. метод хорд;
6. универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.