Метод Ньютона
Метод Ньютона — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида F(X) = 0 с заданной точностью ε.
Описание метода[править]
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки X по старой точке.
Для решения методом Ньютона системы n нелинейных уравнений с n неизвестными, то есть системы вида:
где fi(x1,x2,… ,xn) для 1≤i≤n, дважды непрерывно дифференцируема (в некоторой окрестности решения X системы уравнений F(X)=0), сначала находим матрицу из частных производных для системы функций f1(x1,x2,… ,xn), f2(x1,x2,… ,xn), …, fn(x1,x2,… ,xn), которая называется матрицей Якоби:
Затем для k=0 выбираем начальную точку X0 в некоторой окрестности решения X*, причём ΔЯ(X0)≠0, например X0=(1;1;…;1). Далее на (k+1)-шаге вычисляем матрицу Якоби Я(Xk)=F’(Xk), систему функций F(Xk) в точке Xk, и новую точку Xk+1 вычисляем по формуле:
Расстояние между точками определяется по формуле:
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Алгоритм решения[править]
Входные данные: F, Я, ε.
Выходные данные: X1.
- Заметим, что метод Ньютона при n=1, то есть для нелинейного уравнения f1(x1)=0, становится методом касательных.
Другие методы:[править]
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Другие системы:[править]
Другие понятия:[править]
Литература[править]
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
Ссылки[править]
 Методы оптимизации ↑ | |
|---|---|
| Одномерные |
Метод золотого сечения • Дихотомия • Метод парабол • Перебор по сетке • Метод равномерного блочного поиска • Метод Фибоначчи • Троичный поиск • Метод Пиявского |
| Прямые методы |
Метод Гаусса • Метод Нелдера — Мида • Метод сопряжённых направлений • Метод Хука — Дживса • Метод конфигураций • Метод Розенброка |
| Первого порядка |
Градиентный спуск • Метод Зойтендейка • Покоординатный спуск • Метод сопряжённых градиентов • Квазиньютоновские методы • Алгоритм Левенберга — Марквардта |
| Второго порядка |
Метод Ньютона • Метод Ньютона — Рафсона • Алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно (BFGS) |
| Стохастические |
Метод Монте-Карло • Имитация отжига • Эволюционные алгоритмы • Дифференциальная эволюция • Муравьиный алгоритм • Метод роя частиц |
| Методы линейного программирования |
Симплекс-метод • Алгоритм Гомори • Метод эллипсоидов • Метод потенциалов |
| Методы нелинейного программирования | |