Универсальный метод итераций

Универсальный метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода[править]

Суть универсального метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x = x − f(x)/M, которая похожа на формулы метода итераций и метода касательных и строится с помощью функции f(x), где M = max{f’(x)}.

Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.

Универсальный метод итераций строит зависимость вида x = φ(x) (как в методе итераций), но не из уравнения f(x) = 0, а по универсальной формуле x = x − f(x)/M (как в методе касательных), т.е. φ(x) = x − f(x)/M.

Универсальный метод итераций применим, если функция f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a; b], а функция f’(x) на отрезке [a; b] везде положительна (0 < f’(x) < ∞).

Если же функция f’(x) на отрезке [a; b] везде отрицательна (−∞ < f’(x) < 0), то универсальный метод итераций применим для решения уравнения вида −f(x) = 0 (очевидно, что уравнение −f(x) = 0 эквивалентно уравнению f(x) = 0).

Для решения используются вспомогательные параметры m, M, q и δ, где δ - уточнённая точность. M = max{f’(x)}, m = min{f’(x)}.

Очевидно, что q = max|φ’(x)| = max|1 − f’(x)/M| = 1 − m/M < 1, т. е. для функции φ(x) = x − f(x)/M выполняются требования метода итераций.

Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) непрерывна, дифференцируема и меняет знак на отрезке, т. е. f(a)f(b) < 0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения[править]

Входные данные: f(x), f’(x), a, b, ε.

$m=\min \limits _{a\leq x\leq b}\{f'(x)\}$ , $M=\max \limits _{a\leq x\leq b}\{f'(x)\}$ $q=\max \limits _{a\leq x\leq b}\left|\varphi '(x)\right|$ , $q=1-{\frac {m}{M}}$ , $\delta =\varepsilon {\frac {1-q}{q}}$ , $x_{0}={\frac {a+b}{2}}$ .
x = x₀ − f(x₀)/M
Если |x − x₀| > δ, то x₀ = x и идти к 2.