Универсальный метод итераций

Универсальный метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода

Суть универсального метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x=x−f(x)/M, которая похожа на формулы метода итераций и метода касательных и строится с помощью функции f(x), где M=max{f’(x)}.

Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.

Универсальный метод итераций строит зависимость вида x=φ(x) (как в методе итераций), но не из уравнения f(x)=0, а по универсальной формуле x=x−f(x)/M (как в методе касательных), т.е. φ(x)=x−f(x)/M.

Универсальный метод итераций применим, если функция f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b], а функция f’(x) на отрезке [a;b] везде положительна (0 < f’(x) < ∞).

Если же функция f’(x) на отрезке [a;b] везде отрицательна (−∞<f’(x)<0), то универсальный метод итераций применим для решения уравнения вида −f(x)=0 (очевидно, что уравнение −f(x)=0 эквивалентно уравнению f(x)=0).

Для решения используются вспомогательные параметры m, M, q и δ, где δ - уточнённая точность. M=max{f’(x)},m=min{f’(x)}.

Очевидно, что q=max|φ’(x)|=max|1−f’(x)/M|=1−m/M<1,

т. е. для функции φ(x)=x−f(x)/M выполняются требования метода итераций.

Сначала находим отрезок [a;b] такой, что функция f(x) непрерывна, дифференцируема и меняет знак на отрезке, т. е. f(a)f(b)<0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: f(x), f’(x), a, b, ε.

1. $m=\min \limits _{a\leq x\leq b}\{f'(x)\},M=\max \limits _{a\leq x\leq b}\{f'(x)\},q=\max \limits _{a\leq x\leq b}\left|\varphi '(x)\right|,q=1-{\frac {m}{M}},\delta =\varepsilon {\frac {1-q}{q}},x_{0}={\frac {a+b}{2}}$.
2. x=x₀−f(x₀)/M
3. Если |x−x₀|>δ, то x₀=x и идти к 2.

Выходные данные: x.

• Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
• Если f(x)=0, то x — точное решение.

Другие методы:

1. деление отрезка пополам;
2. комбинированный метод;
3. метод итераций;
4. метод касательных;
5. метод хорд;
6. универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.