Метод хорд

Метод хорд // Iren Belenkova [4:24]

Метод хорд (метод секущих) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Описание метода

Суть метода хорд состоит в разбиении отрезка [a; b] (при условии f(a)f(b) < 0) на два отрезка с помощью хорды и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.

Построение хорд продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Метод хорд применим для решения уравнения вида f(x) = 0 на отрезке [a; b], если ни одна точка отрезка [a; b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x) ≠ 0 и f’’(x) ≠ 0.

Условие начальной точки для метода хорд f(x)f’’(x) < 0.

Условие неподвижной точки для метода хорд f(x)f’’(x) > 0.

Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b) < 0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: f(x), f’’(x), a, b, ε.

1. Если f(a) · f’’(a) > 0, то c = a, иначе если f(b) · f’’(b) > 0, то c = b.
2. Если f(a) · f’’(a) < 0, то x = a, иначе если f(b) · f’’(b) < 0, то x = b.
3. Δx = f(x) · (x − c) / (f(x) − f(c)).
4. x = x — Δx.
5. Если |Δx| > ε, то идти к 3.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Если f(x) = 0, то x — точное решение.

Другие методы:

• деление отрезка пополам;
• комбинированный метод;
• метод итераций;
• метод касательных;
• метод хорд;
• универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.