Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Метод итераций

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Описание метода[править]

Суть метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x = φ(x), которая выводится из уравнения f(x)=0.

Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.

Метод итераций применим, если уравнение вида f(x) = 0 сводится к уравнению вида x = φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a; b] и max|φ’(x)|<1.

Для решения рассчитываются вспомогательные параметры q и δ, где δ — уточнённая точность.

Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0.

Уравнение вида f(x) = 0 преобразуем к уравнению вида x = φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a; b] и max|φ’(x)| < 1.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения[править]

Входные данные: φ(x), φ’(x), a, b, ε.

  1. , , .
  2. x = φ(x0)
  3. Если |xx0| > δ, то x0 = x и идти к 2.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Если f(x) = 0, то x — точное решение.

Другие методы:[править]

  • Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература[править]

  • Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.