Метод итераций
Метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x) = 0.
Описание метода[править]
Суть метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x = φ(x), которая выводится из уравнения f(x)=0.
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Метод итераций применим, если уравнение вида f(x) = 0 сводится к уравнению вида x = φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a; b] и max|φ’(x)|<1.
Для решения рассчитываются вспомогательные параметры q и δ, где δ — уточнённая точность.
Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0.
Уравнение вида f(x) = 0 преобразуем к уравнению вида x = φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a; b] и max|φ’(x)| < 1.
Далее применяем алгоритм решения.
Алгоритм решения[править]
Входные данные: φ(x), φ’(x), a, b, ε.
- , , .
- x = φ(x0)
- Если |x − x0| > δ, то x0 = x и идти к 2.
Выходные данные: x.
Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x) = 0.
Если f(x) = 0, то x — точное решение.
Другие методы:[править]
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Литература[править]
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.