Метод итераций

Метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода

Суть метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x=φ(x), которая выводится из уравнения f(x)=0.

Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.

Метод итераций применим, если уравнение вида f(x)=0 сводится к уравнению вида x=φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b] и max|φ’(x)|<1.

Для решения рассчитываются вспомогательные параметры q и δ, где δ — уточнённая точность.

Сначала находим отрезок [a;b] такой, что функция f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0.

Уравнение вида f(x)=0 преобразуем к уравнению вида x=φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b] и max|φ’(x)|<1.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: φ(x), φ’(x), a, b, ε.

1. $q=\max \limits _{a\leq x\leq b}\left|\varphi '(x)\right|,\delta =\varepsilon {\frac {1-q}{q}},x_{0}={\frac {a+b}{2}}$.
2. x=φ(x₀)
3. Если |x−x₀|>δ, то x₀=x и идти к 2.

Выходные данные: x.

• Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
• Если f(x)=0, то x — точное решение.

Другие методы:

1. деление отрезка пополам;
2. комбинированный метод;
3. метод итераций;
4. метод касательных;
5. метод хорд;
6. универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.