Лёвнер, Чарльз

Чарльз Лёвнер

англ. Charles Loewner

Дата рождения

29 мая 1893 года

Место рождения

Лани, Богемия

Дата смерти

8 января 1968 года

Место смерти

Стэнфорд, Калифорния, США

Гражданство

США

Род деятельности

математик

Чарльз Лёвнер (^{[Нет даты!]}) — американский математик. Известен трудами в области систолической геометрии и теории непрерывных групп, а также созданием уравнения Лёвнера.

Биография

Карл Лёвнер родился в еврейской семье в Лани (около 30 км от Праги). Его отец Зигмунд Лёвнер был владельцем магазина.

Лёвнер получил степень доктора философии в Пражском университете в 1917 году под руководством Георга Пика. Одним из его главных математических достижений стало доказательство гипотезы Бибербаха в первом весьма нетривиальном случае третьего коэффициента. Предложенный им метод, дифференциальное уравнение Лёвнера, имел далеко идущие последствия в геометрической теории функций. Этот метод использовался в окончательном доказательстве гипотезы Бибербаха Луи де Бранжем в 1985 году.

Лёвнер преподавал математику в Берлинском университете и Пражском университете до отъезда в США. В 1939 году Рихард фон Мизес писал из Стамбула в рекомендательном письме для Лёвнера: «Во время своей работы в Берлинском университете Лёвнер среди всех преподавателей математики оказывал самое сильное влияние на студентов, стимулировал их к самостоятельным исследованиям и бескорыстно помогал им. Значительная часть работы, представленной в опубликованных диссертациях его учеников, не только является результатом его влияния, но и в истинном смысле может считаться его собственной работой».

В США он преподавал в Луисвиллском университете, Брауновском университете, Сиракузском университете и, в конечном итоге, в Стэнфордском университете. Среди его учеников — Липман Берс, Роджер Хорн, Адриано Гарсиа и Пао Мин Пу.

Неравенство Лёвнера для тора

В 1949 году Лёвнер доказал своё неравенство для тора. Оно утверждает, что для любой метрики на двумерном торе её систола sys удовлетворяет оптимальному неравенству:

$\operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}).$

Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика является плоской и гомотетичной так называемому равностороннему тору — тору, чья группа преобразований накрытия представляет собой гексагональную решётку, натянутую на кубические корни из единицы в $\mathbb {C}$.

Теорема Лёвнера о матрицах

Матрица Лёвнера (в линейной алгебре) — это квадратная матрица или, более конкретно, линейный оператор (вещественных $C^{1}$-функций), связанный с двумя входными параметрами. Эти параметры включают: (1) вещественную непрерывно дифференцируемую функцию на подынтервале вещественных чисел и (2) $n$-мерный вектор с элементами, выбранными из этого подынтервала. Двум входным параметрам ставится в соответствие выходной параметр, представляющий собой матрицу размера $n\times n$.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция, непрерывно дифференцируемая на открытом интервале $(a,b)$.

Для любых $s,t\in (a,b)$ разделённая разность функции $f$ в точках $s,t$ определяется как:

$f^{[1]}(s,t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(s)-f(t)}{s-t}},&{\text{если }}s\neq t\\f'(s),&{\text{если }}s=t\end{cases}}$.

Для заданных $t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)$ матрица Лёвнера $L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})$, связанная с функцией $f$ для набора $(t_{1},\ldots ,t_{n})$, определяется как матрица размера $n\times n$, чей $(i,j)$-й элемент равен $f^{[1]}(t_{i},t_{j})$.

В своей фундаментальной статье 1934 года Лёвнер доказал, что для каждого целого положительного числа $n$ функция $f$ является $n$-монотонной на $(a,b)$ тогда и только тогда, когда матрица $L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})$ является положительно полуопределённой для любого выбора $t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)$. Используя эту эквивалентность, он доказал, что функция $f$ является $n$-монотонной на $(a,b)$ для всех $n$ тогда и только тогда, когда $f$ является вещественно-аналитической функцией с аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость, имеющим положительную мнимую часть в верхней полуплоскости. См. Операторно монотонная функция.

Непрерывные группы

Во время визита в Беркли в 1955 году Лёвнер прочитал курс по непрерывным группам. Его лекции были размножены в виде конспектов. Лёвнер планировал написать подробную книгу о непрерывных группах на основе этих записей, но на момент его смерти проект находился на стадии формирования. Харли Флэндерс и Мюррей Проттер решили пересмотреть и исправить оригинальные конспекты лекций, чтобы издать их в постоянном формате. Книга «Чарльз Лёвнер: Теория непрерывных групп» (англ. Charles Loewner: Theory of Continuous Groups) была опубликована издательством MIT Press в 1971 году и переиздана в 2008 году.

В терминологии Лёвнера, если $x\in S$ и на $S$ задано действие группы, то $x$ называется величиной (стр. 10). Проводится различие между абстрактной группой ${\mathfrak {g}}$ и реализацией ${\mathfrak {g}}$ в терминах линейных преобразований, которые дают представление группы. Эти линейные преобразования представляют собой якобианы, обозначаемые как $J({\overset {u}{v}})$ (стр. 41). Термин инвариантная плотность используется для меры Хаара, которую Лёвнер приписывает Адольфу Гурвицу (стр. 46). Лёвнер доказывает, что компактные группы имеют равные левые и правые инвариантные плотности (стр. 48).

Литература

• Berger, Marcel: À l'ombre de Loewner. (French) Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 5 (1972), 241–260.

Ссылки

• Мемориальная резолюция Стэнфордского университета
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Лёвнер, Чарльзангл. — биография в архиве MacTutor.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Лёвнер, Чарльз», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Лёвнер,_Чарльз Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».