Расстояние между прямыми в трёхмерном пространстве

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Расстояние между прямыми»)
Перейти к: навигация, поиск
Видеоурок «Расстояние между прямыми в пространстве» // Математика от alwebra.com.ua [6:52]
С2 ЕГЭ. Расстояние между скрешивающиеся прямыми // Alex Nij [9:42]

Расстояние между прямыми — это длина перпендикуляра к этим прямым, соединяющего две точки этих прямых (одна точка на одной прямой, другая на другой).

Обозначения[править]

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r_1=(x_1,y_1,z_1) }[/math] — радиус-вектор точки на первой прямой;

[math]\displaystyle{ \bar r_2=(x_2,y_2,z_2) }[/math] — радиус-вектор точки на второй прямой;

[math]\displaystyle{ \bar s_1=(l_1,m_1,n_1) }[/math] — направляющий вектор первой прямой;

[math]\displaystyle{ \bar s_2=(l_2,m_2,n_2) }[/math] — направляющий вектор второй прямой;

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} }[/math] — уравнение первой прямой;

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2} }[/math] — уравнение второй прямой;

[math]\displaystyle{ d_{12} }[/math] — расстояние между первой и второй прямыми.

Формула для скрещивающихся прямых[править]

Формула для скрещивающихся прямых в координатной форме

Для скрещивающихся прямых формула имеет вид:

[math]\displaystyle{ d_{12}=\frac{\left|\left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\overline{s}_1\overline{s}_2\right|}{\left|\left[\overline{s}_1\times\overline{s}_2\right]\right|}\Leftrightarrow d_{12}=\frac{\left|\left(\left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\cdot\left[\overline{s}_1\times\overline{s}_2\right]\right)\right|}{\left|\left[\overline{s}_1\times\overline{s}_2\right]\right|}\Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow d_{12}=\frac{\left|\left(\left[\left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\times\overline{s}_1\right]\cdot\overline{s}_2\right)\right|}{\left|\left[\overline{s}_1\times\overline{s}_2\right]\right|}\Leftrightarrow d_{12}=\frac{V_{\left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\overline{s}_1\overline{s}_2}}{S_{\overline{s}_1\overline{s}_2}} }[/math]

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно отношению модуля смешанного произведения векторов (r2 − r1), s1 и s2 к модулю векторного произведения векторов s1 и s2. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелепипеда (построенного на векторах (r2 − r1), s1 и s2), опущенной на основание в виде параллелограмма (построенного на векторах s1 и s2), равная отношению объёма параллелепипеда к площади параллелограмма.

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми в координатной форме имеет вид:

[math]\displaystyle{ d_{12}=\frac{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix}}{\sqrt{\begin{vmatrix} l_1 & m_1 \\ l_2 & m_2 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} n_1 & l_1 \\ n_2 & l_2 \end{vmatrix}^2}} }[/math]

Пример[править]

Даны две скрещивающиеся прямые: [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} }[/math].

Найти расстояние между ними.

Решение.

[math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} \Rightarrow \bar r_1=(1;-5;-1), \ \bar s_1=(-2;3;4) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} \Rightarrow \bar r_2=(-2;1;2), \ \bar s_2=(-2;2;3) }[/math]
[math]\displaystyle{ \bar r_2-\bar r_1=(-2;1;2)-(1;-5;-1)=(-3;6;3) }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\lt \left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\overline{s}_1\overline{s}_2\right\gt =\left\lt (-3;6;3);(-2;3;4);(-2;2;3)\right\gt =\begin{vmatrix} -3 & 6 & 3 \\ -2 & 3 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -9 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left[\overline{s}_1\times\overline{s}_2\right]=\left[(-2;3;4)\times(-2;2;3)\right]= \begin{vmatrix} \bar i & \bar j & \bar k \\ -2 & 3 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \bar i - 2\bar j+2\bar k=(1;-2;2) }[/math]
[math]\displaystyle{ d_{12}=\frac{\left|\left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\overline{s}_1\overline{s}_2\right|}{\left|\left[\overline{s}_1\times\overline{s}_2\right]\right|} = \frac{|-9|}{|(1;-2;2)|} = \frac{9}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\frac{9}{\sqrt{9}}=3 }[/math]

Формула для параллельных прямых[править]

Формула для параллельных прямых в координатной форме

Для параллельных прямых формула имеет вид:

[math]\displaystyle{ d_{01}=\frac{\left|\left[\left(\bar r_2-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]\right|}{\left|\bar s_1\right|} \Leftrightarrow d_{12}=\frac{S_{\left(\bar r_2-\bar r_1\right)\bar s_1}}{\left|\bar s_1\right|} }[/math]

Расстояние между параллельными прямыми равно отношению модуля векторного произведения векторов (r2 − r1) и s1 к длине вектора s1. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r2 − r1) и s1), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s1), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Формула расстояния между параллельными прямыми в координатной форме имеет вид:

[math]\displaystyle{ d_{12}=\frac{\sqrt{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ l_1 & m_1 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ m_1 & n_1 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} z_2-z_1 & x_2-x_1 \\ n_1 & l_1 \end{vmatrix}^2}}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}} }[/math]
  • Для параллельных прямых формула верна для векторов (r2 − r1) и s2 так же, как и для векторов (r2 − r1) и s1.

Пример[править]

Даны две параллельные прямые: [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{x+4}{4}=\frac{y-3}{-6}=\frac{z-5}{-8} }[/math].

Найти расстояние между ними.

Решение.

[math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} \Rightarrow \bar r_1=(1;-5;-1), \ \bar s_1=(-2;3;4) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{x+4}{4}=\frac{y-3}{-6}=\frac{z-5}{-8} \Rightarrow \bar r_2=(-4;3;5), \ \bar s_1=(4;-6;-8) }[/math]
[math]\displaystyle{ \bar r_2-\bar r_1=(-4;3;5)-(1;-5;-1)=(-5;8;6) }[/math]
[math]\displaystyle{ \left[\left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\times\overline{s}_1\right]=\left[(-5;8;6)\times(-2;3;4)\right]=\begin{vmatrix} \bar i & \bar j & \bar k \\ -5 & 8 & 6 \\ -2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = = 14\bar i +8\bar j+\bar k=(14;8;1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \left|\left[\left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\times\overline{s}_1\right]\right|=\left|(14;8;1)\right|=\sqrt{14^2+8^2+1^2}=\sqrt{196+64+1}=\sqrt{261} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left|\bar s_1\right|=\left|(-2;3;4)\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29} }[/math]
[math]\displaystyle{ d_{12}=\frac{\left|\left[\left(\overline{r}_2-\overline{r}_1\right)\times\overline{s}_1\right]\right|}{\left|\bar s_1\right|}=\frac{\sqrt{261}}{\sqrt{29}}=\sqrt{\frac{261}{29}}=\sqrt{9}=3 }[/math]

Другие формулы[править]

Виды формул[править]

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.